잡담을 위한 소박한 장소

이번 포스팅에서는 푸리에 사인 급수와 관련된 적분을 다뤄보겠습니다. Theorem. Let $f:(0,\infty)\to\mathbb{C}$ be a locally bounded Lebesgue-measurable function such that the improper integral $$ \int_{0}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x = \lim_{\substack{a\to 0^+ \\ b\to\infty}} \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x $$ exists in $\mathbb{C}$. Then, for any $(a_n)_{n\geq 1}\subset\mathbb{C}$ satisfying $\sum_{n\geq1..

MSE를 뒤적이다가 슬쩍 본 계산인데, 예뻐서 가져와봅니다. We evaluate the integral $$ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x}{1-(1-y^2) x^2} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ in two ways. Integrating with respect to $x$ first, we get \begin{align*} I &= \int_{0}^{1} \frac{\log(1/y)}{1 - y^2} \, \mathrm{d}y = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} y^{2n} \log(1/y) \, \mathrm{d}y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}. \end{align*..

In this posting, we compute the reproducing kernels of the Sobolev space $H^1([0,1])$ equipped with the inner product $$ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} [ \overline{f(x)}g(x) + \overline{f'(x)}g'(x)] \,\mathrm{d}x. $$ In other words, we aim to find a function $K_a \in H^1([0, 1])$, for each $a \in [0, 1]$, such that $\langle K_a, f \rangle = f(a)$ for all $f \in H^1([0, 1])$. Assume there ex..

이번 포스팅에서는 뜬금없이 해석학 한 문제 다뤄보겠습니다. Theorem. Let $(X, d)$ be a compact metric space, and let $f:X\to X$ be a surjective $1$-Lipschitz function. Then $f$ is an isometry. Proof. Let $f^{\circ n}$ denote the $n$-fold composition of $f$, that is, $f^{\circ 0} = \mathrm{id}_{X}$ and $f^{\circ(n+1)} = f\circ f^{\circ n}$. By the assumption, the family $(f^{\circ n})_{n=1}^{\infty}$ is $1$-Lipschitz, henc..

Darboux method 란, 주어진 power series 혹은 Laurent series 의 계수들의 점근적인 행동을 조사할 때 유용한 방법 중 하나입니다. 이 방법은 간단하게 설명하자면 다음과 같습니다: 멱급수 $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 가 $$ f(z) = g(z) + h(z), $$ 와 같은 꼴로 분해지며, 여기서 $g(z)$ 는 "조사하기 쉬운" 함수이며 $h(z)$ 는 "작은" 함수라고 합시다. 그러면 $f(z)$ 의 계수들 $(a_n)$ 의 점근적 행동이 $g(z)$ 의 계수들과 거의 비슷하다는 것이 이 방법의 요지입니다. 더욱 자세한 내용은 DLMF 의 해당 항목에서 확인하실 수 있습니다. 이 방법을 실제로 적용해보기 위하여, 다음과 같은 수열의 ..

제 Blogger 블로그에 몇 달 전에 올렸던 계산인데, 좀 마음에 들어서 여기서도 공유하고자 가져왔습니다. Calculation 1. We have $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{8} - 4x^{6} + 9x^{4} - 5x^{2} + 1}{x^{12} - 10x^{10} + 37x^{8} - 42x^{6} + 26x^{4} - 8x^{2} + 1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}. $$ This is Problem 11148 of American Mathematical Monthly, Vol.112, April 2005. Proof. For each $f(z) \in \mathbb{C}[z]$, we define $f^*(z) = \overline{f(\..

아주 오랜만에 다시 스도쿠에 대한 흥미가 돌아와서, 기존에 적었던 스도쿠 전략 소개 글들을 고치는 동시에 새로운 논리 풀이 알고리즘을 짜고 있습니다. 뭐 풀이 알고리즘 자체를 짜는게 어렵진 않은데, 이걸 웹 어플처럼 예쁘게 만드는 건 생각보다 여러 개발 스킬들을 요구해서 좀 익숙지 않네요. 나중에는 최종적으로 서버에 올려서 돌리는 걸 목표로 하고 있는지라 React같은 것도 좀 배워서 써보려고 하는데, 덕분에 이러저런 프론트엔드 관련 내용들을 좀 배워야 할 것 같습니다. 오랜만에 프로그래밍에 손을 대서 그런지 좀 정신없는 감도 있고... 여튼 얼른 블로그 글들도 좀 업데이트 하겠습니다.

정말로 오랜만이네요. 오랜만에 돌아와 보니 티스토리도 많이 깔끔하게 변했했네요. 그래서 다시 여기에 글을 써보고자 합니다. 테마도 모던하게 새로 적용하였네요. 이전 글들은 시간이 나는대로 짬짬이 새 테마에 맞춰 고쳐보도록 하겠습니다. (몇몇 글들은 비공개로 전환할 수도 있습니다. 10년 만에 다시 보니 부끄러운 글들이 많네요 ㅋㅋ)

드디어 qual 을 끝내고 나니, 이젠 개강이 내일이네요. 허허허, 쉴 틈이 없구나… 아래 명제는 제가 직접 푼 건 아니지만 그 내용이 마음에 들어서 한번 올려봅니다. Glasser 마스터 정리.[1] 상수 $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n} > 0$ 와 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta \in \mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 $$ \phi(x) = x - \beta - \sum_{i=1}^{n} \frac{\rho_{i}}{x - \alpha_{i}} $$ 는 $\mathbb{R}$ 위의 르벡 측도 $\operatorname{Leb}$ 를 보존한다. 즉, 임의의 르벡 측도가능한 집합 $E \subseteq \m..

정말 오랜만이네요. 요즘 정신도 없고 계산을 통 안하는 바람에... 명제. 다음 사실이 성립한다[1]: $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{n!} \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k} k^{n-1} \log k = 2. $$ 증명은 여기에서 찾을 수 있습니다. Addendum. 뜬금없는 사족 하나. 일전에 일러스트들을 모아놓은 페이지들을 전에 시리즈로 올린 적이 있는데, 어떤 분이 저작권 문제를 지적하였기에 글을 내렸습니다. 저작권 문제 때문에 소란에 휘말리긴 싫네요... 널리 퍼뜨릴 수록 모두에게 이득이 되는 홍익정신의 결정체인 수학에나 더 매진해야겠습니다. 참고 문헌 r9m, Finding the limit of a sequence w..

간단한 문제 하나로 오랜만에 블로그의 정적이나 깨 볼까 합니다. 문제. $a \in \mathbb{R}$ 라고 하자. 또한 수열 $a_{n} \in \mathbb{C}$ 가 다음의 점화식을 만족시킨다고 하자. \begin{align*} a_{n} = a_{n-1} + \frac{a}{n} a_{n-2}, \quad n \geq 2. \end{align*} 그러면 아래와 같은 estimate 가 성립함을 보여라: \begin{align*} a_{n} = \mathcal{O}\left( n^{a} \right). \end{align*} 증명. Let $A_{n}$ and $B_{n}$ be sequences of $2\times 2$ matrices defined by \begin{align*} A_{n} ..

드디어 몇 년동안 짬짬히 고민하던 적분 문제에 상당한 진척을 보였습니다. 일단은 급한 일이 있어서, 결과 요약이랑 작성중인 증명 파일만 올립니다. 나중에 좀 더 살을 붙여야지요. Finally I made a significant progress in the integral problem I was struggling for some years. As I am busy now, I just present here a summarized result and the article containing the main proof. Theorem 1. For $ p, q, r > 0 $, define the generalized Ahmed's integral by \begin{equation} \label{int..

While calculating a specific problem, I succeeded in proving a more general problem. Proposition. For $0 < r < 1$ and $r < s$, the following holds:[1] \begin{equation} \label{eq_wts} \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \log \left| \frac{1 + 2rsx + (r^{2} + s^{2} - 1)x^{2}}{1 - 2rsx + (r^{2} + s^{2} - 1)x^{2}} \right| \, dx = 4\pi \arcsin r. \end{equation} Proof. We divide the proof ..

나흘 연휴의 절반이 지나가는 동안 한 거라곤 폐인짓밖에 없네…. 공부해야지~ Proposition. The following holds:[1] \begin{equation*} \tag{1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan ( r \sin\theta ) \arctan ( s \sin\theta ) \, d\theta = \pi \chi_{2}(\alpha \beta), \end{equation*} where \begin{align*} \alpha = \frac{\sqrt{r^{2} + 1} - 1}{r}, \quad \beta = \frac{\sqrt{s^{2} + 1} - 1}{s} \end{align*} and $\chi_{2}$ is the Legendre chi funct..

Take Home Exam을 풀어야 하는데, 나는 이런 거나 계산하고 있을 뿐이고…. Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}^{2}}{n^{2}} = \frac{17\pi^{4}}{360}. \end{align*} Proof. See the reference [1] below. Remark. This identity was first conjectured by Enrico Au-Yeung, a student of Jonathan Borwein, using computer search and the PSLQ algorithm, in 1993.[2] It is subsequently solved b..

밤새서 푼 적분 하나. 하라는 공부는 안 하고…! Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{\log x \log(1-x) \log^{2}(1+x)}{x} \, dx = \frac{7}{8} \zeta(2)\zeta(3) - \frac{25}{16} \zeta(5). \end{align*} Proof. Below is my proof of the above identity. Step 1. Let \( I \) be the integral in question: \begin{align*} I &= \int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x) \log^{2} (1 + x)}{x} \, dx. \end..

과제하느라 밤새서 정신도 어지러운 와중에, 자라는 낮잠은 안 자고 40분동안 끙끙 싸매면서 푼 문제…. 진심으로 토할듯이 졸리니 이젠 정말 자러 가야겠네요. Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \int_{0}^{1} \log\left(1+\frac{\log^{2} x}{4\pi^{2}}\right)\frac{\log(1-x)}{x} \, dx = -\pi^{2} \left( 4\zeta'(-1) + \frac{2}{3} \right). \end{align*} Proof. See the reference [1] below. 풀이는 아래 참고문헌 [1]에 있습니다. 요즘 블로그로 풀이를 옮기기가 너무 귀찮아서 그냥 링크로... 허허 References..

수업을 듣다가, 꽤나 흥미로운 사실인 것 같아서 그냥 정리해둡니다. Proposition. Define elementary symmetric polynomials of $n$ variables $\Lambda = \{ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \}$ by \begin{align*} c_{0} = 1, \quad c_{k} = \sum_{\substack{X \subset \Lambda \\ |X| = k}} \prod_{\lambda \in X} \lambda \quad (1 \leq k \leq n) \end{align*} and similarly we define \begin{align*} s_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}^{k} \qua..

그동안 여기저기 싸지른 잡다한 계산들을 한 번 정리해볼까 합니다. Problem #. Show that \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(x^{2} + \log^{2}(\cos x) \right) \, \mathrm{d}x = \pi \log \log 2. \tag{1} \end{equation*} This problem is from [IS1]. Solution. Let $I$ denote the integral in $\text{(1)}$. By recalling the identity \begin{align*} x^{2} + \log^{2} (\cos x) = \left| \log \left( \frac{1+e^{2ix}}{2} \rig..

이제 겨우 미국 온 지 3일 지났네요, 허허. 그래서 새로운 방을 좀 공개해볼까 합니다. 방이 좀 넓고 괜찮아서 깜짝 놀랐습니다. 흐흐, 빨리 새로운 생활에 적응했으면 좋겠습니다. -ㅁ-;;