신기한 측도 보존 변환

드디어 qual 을 끝내고 나니, 이젠 개강이 내일이네요. 허허허, 쉴 틈이 없구나… 아래 명제는 제가 직접 푼 건 아니지만 그 내용이 마음에 들어서 한번 올려봅니다.

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Glasser 마스터 정리.[1] 상수 ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_n>0$ 와 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,\beta \in \mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수

$$\varphi (x)=x-\beta -\sum _{i=1}^n\frac{{\rho }_i}{x-{\alpha }_i}$$

는 $\mathbb{R}$ 위의 르벡 측도 $\mathrm{Leb}$ 를 보존한다. 즉, 임의의 르벡 측도가능한 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여

$$\mathrm{Leb}({\varphi }^{-1}(E))=\mathrm{Leb}(E)$$

를 만족시킨다. 따라서, $\mathbb{R}$ 위에서 함수 $f$ 가 적분가능하거나 혹은 음이 아닌 값을 갖는 측도가능한 함수이면 다음 등식이 항상 성립한다.

$${\int }_{\mathbb{R}}f(\varphi (x))\mathrm{d}x={\int }_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}x.$$

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참고 문헌

1. orangeskid, How to compute ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\frac{(x^2-13x-1{)}^2}{611x^2})dx$ - Math StackExchange