신기한 측도 보존 변환

드디어 qual 을 끝내고 나니, 이젠 개강이 내일이네요. 허허허, 쉴 틈이 없구나… 아래 명제는 제가 직접 푼 건 아니지만 그 내용이 마음에 들어서 한번 올려봅니다.

---

Glasser 마스터 정리.[1] 상수 $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n} > 0$ 와 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta \in \mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수

$$ \phi(x) = x - \beta - \sum_{i=1}^{n} \frac{\rho_{i}}{x - \alpha_{i}} $$

는 $\mathbb{R}$ 위의 르벡 측도 $\operatorname{Leb}$ 를 보존한다. 즉, 임의의 르벡 측도가능한 집합 $E \subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여

$$ \operatorname{Leb}(\phi^{-1}(E)) = \operatorname{Leb}(E) $$

를 만족시킨다. 따라서, $\mathbb{R}$ 위에서 함수 $f$ 가 적분가능하거나 혹은 음이 아닌 값을 갖는 측도가능한 함수이면 다음 등식이 항상 성립한다.

$$ \int_{\mathbb{R}} f(\phi(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, \mathrm{d}x. $$

---

참고 문헌

1. orangeskid, How to compute $\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac{(x^2-13x-1)^2}{611x^2}\right)\ dx$ - Math StackExchange