잡담을 위한 소박한 장소

요즘 GRE 공부때문에 수학에 손 댈 기회가 더더욱 없어서 우울한 차에, 오랜만에 주말을 맞아 본격적으로 웹서핑 좀 하다가 쉽고 재미있는 문제를 발견해서 한번 풀어봤습니다. 첫 번째 계산은 위의 계산입니다. 단, 여기서 입니다. 위 사실들을 참이라고 가정하면, a > 1 일 때 성립하는 등식 에 a = 2 를 대입하여 다음 등식을 얻어냅니다. 이제 첫 번째 식의 수렴성을 증명하고 이 식의 값을 계산하는 일만 남았습니다. 우선 계산에 앞서, 보조정리 하나를 증명해봅시다. Lemma 만약 f가 C1[a,b]에 속하면, 다음 식이 성립한다. proof. 함수 F를 이라고 두자. n을 고정하고, Δx = (b-a)/n 과 xk = a + kΔx 로 두자. 그러면 Taylor 정리에 의해서, 적당한 가 존재하여,..

오늘은 그냥 허접한 계산입니다. 블로그 정체를 막기 위한 발악이랄까요... orz 자, 이제 여러분들도 다음 등식을 증명하실 수 있습니다! 둗웅...

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..