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블로그의 정체를 막기 위해 오늘도 쉬운 계산 몇 가지를 적어보고자 합니다. [계산 1] α, β > 0 일 때 다음 계산이 성립합니다. 여기서 특별한 설명이 필요한 부분은 (1)에서 (4)에 해당하는 부분입니다. 우선 (1)은 제가 예전에 올린 글 중에서 적분의 교환가능성을 약간 확장한 것에 대한 글을 참조하시면 됩니다. 그리고 (2)와 (3)은 Lebesgue's dominated convergence theorem을 적용하면 되고, (4)는 감마함수의 미분으로부터 유도됩니다. [계산 2] 역시 쉬운 계산입니다. 오일러 적분의 일종이죠. 앗흥~

Problem. Evaluate the following integral. \begin{equation}\label{eqn:wts} \int_{0}^{1} \log (1-x) \log x \log (1+x) \; dx \end{equation} We divide the solution into several steps. 1. Reduction to Euler series. The key ingredient for the reduction is the following integral. \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p} \theta \cos^{q} \theta \log \sin\theta \log \cos\theta \; d\theta. \end{..

이번에 성공한 계산은 다음 두 적분입니다. 특히 아래 적분은 처음 본 때가 2008년 6월 13일이었고, 가끔 생각날 때마다 끄적였으나 실패했던 적분이니, 거의 16개월만에 풀어낸 셈이군요. 이런 걸 보면 저도 아직 멀고 멀었나 봅니다. 두 적분에 대한 계산은, 자세하게 풀어서 적어드리고 싶지만 제게 허락된 시간이 거의 없는 관계로 각각 * 수학 노트 : #005 * 수학 노트 : #003 을 참조하세요.