잡담을 위한 소박한 장소

이번 포스팅에서는 푸리에 사인 급수와 관련된 적분을 다뤄보겠습니다. Theorem. Let $f:(0,\infty)\to\mathbb{C}$ be a locally bounded Lebesgue-measurable function such that the improper integral $$ \int_{0}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x = \lim_{\substack{a\to 0^+ \\ b\to\infty}} \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x $$ exists in $\mathbb{C}$. Then, for any $(a_n)_{n\geq 1}\subset\mathbb{C}$ satisfying $\sum_{n\geq1..

In this posting, we compute the reproducing kernels of the Sobolev space $H^1([0,1])$ equipped with the inner product $$ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} [ \overline{f(x)}g(x) + \overline{f'(x)}g'(x)] \,\mathrm{d}x. $$ In other words, we aim to find a function $K_a \in H^1([0, 1])$, for each $a \in [0, 1]$, such that $\langle K_a, f \rangle = f(a)$ for all $f \in H^1([0, 1])$. Assume there ex..

이번 포스팅에서는 뜬금없이 해석학 한 문제 다뤄보겠습니다. Theorem. Let $(X, d)$ be a compact metric space, and let $f:X\to X$ be a surjective $1$-Lipschitz function. Then $f$ is an isometry. Proof. Let $f^{\circ n}$ denote the $n$-fold composition of $f$, that is, $f^{\circ 0} = \mathrm{id}_{X}$ and $f^{\circ(n+1)} = f\circ f^{\circ n}$. By the assumption, the family $(f^{\circ n})_{n=1}^{\infty}$ is $1$-Lipschitz, henc..

Darboux method 란, 주어진 power series 혹은 Laurent series 의 계수들의 점근적인 행동을 조사할 때 유용한 방법 중 하나입니다. 이 방법은 간단하게 설명하자면 다음과 같습니다: 멱급수 $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 가 $$ f(z) = g(z) + h(z), $$ 와 같은 꼴로 분해지며, 여기서 $g(z)$ 는 "조사하기 쉬운" 함수이며 $h(z)$ 는 "작은" 함수라고 합시다. 그러면 $f(z)$ 의 계수들 $(a_n)$ 의 점근적 행동이 $g(z)$ 의 계수들과 거의 비슷하다는 것이 이 방법의 요지입니다. 더욱 자세한 내용은 DLMF 의 해당 항목에서 확인하실 수 있습니다. 이 방법을 실제로 적용해보기 위하여, 다음과 같은 수열의 ..

수업을 듣다가, 꽤나 흥미로운 사실인 것 같아서 그냥 정리해둡니다. Proposition. Define elementary symmetric polynomials of $n$ variables $\Lambda = \{ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \}$ by \begin{align*} c_{0} = 1, \quad c_{k} = \sum_{\substack{X \subset \Lambda \\ |X| = k}} \prod_{\lambda \in X} \lambda \quad (1 \leq k \leq n) \end{align*} and similarly we define \begin{align*} s_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}^{k} \qua..

Here I am going to introduce some easy results on some criteria for interchanging the order of integration which are not covered by the classical Fubini theorem. Though both statements and proofs are weak and easy, it often reduces our burden to large extent. Let $f$ be a locally integrable function on $(0, \infty)$. That is, $f$ is a measurable function which is integrable on any compact subset..

Residue 계산하면 금방 나오는 쉬운 계산입니다. Proposition 1. We have \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{(x^4 + 1)(e^{2\pi x} - 1)} \, \mathrm{d}x = \frac{\gamma}{2} + \frac{\pi}{4} \frac{\sin \pi\sqrt{2}}{\cosh \pi\sqrt{2} - \cos \pi\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \sum_{\omega^{4} = -1} H_{\omega}, \end{equation*} where $H_s = \gamma + \psi_{0}(1+s)$ is the analytic extension of the harmonic number.

간단한 스탈링 공식을 유도해보았습니다.. Theorem 1. We have \begin{equation*} n! \sim \sqrt{2\pi n} \, n^{n} e^{-n}. \tag{1} \end{equation*} For the proof of this theorem, the following observations are quite useful. Lemma 2. (i) For $u \geq 0$, let $f_n (u)$ by \begin{equation*} f_n (u) = \left(1 + \frac{u}{\sqrt{n}} \right)^{n} e^{-\sqrt{n} u}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots. \tag{2} \end{equation*} Then $f_{n+1}(u)..

그냥 간만에 Croft's Lemma의 아주 사소한 일반화를 올려볼까 합니다. 왠지 어딘가 쓸 수 있을 것 같은 두근거림이 느껴져요. Theorem #. Let $A \subset \Bbb{R}$ be a subset of $\Bbb{R}$ whose interior $U = \operatorname{int}(A)$ is not bounded above, i.e., $\sup U = \infty$. Also assume that $(c_n)$ is an increasing sequence of real numbers such that $c_n \to \infty$ and $c_{n+1} - c_{n} \to 0$ as $n \to \infty$. Then the set $$ D = \{ x \in \Bb..

이번 만우절 장난은 잘 즐기셨나요? 이번의 관전 포인트는, 역시 포토샵으로 만든 책 이미지가 아닐까 싶습니다. 이번 작업에 사용된 책은 Bartle & Sherbert 의 Introduction to Real Analysis 라는 책입니다. 간단한 스펀지질을 통해 제목과 그림을 지우고 대신 아래와 같은 가짜 저자와 제목을 덮어씌웠죠. 원본 책 지못미... 당연히, 저런 책도 저런 저자도 존재하지 않습니다. 저자 이름은 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)을 거꾸로 썼고, 부제는 Spivak의 The Joy of TeX을 베꼈습니다. 수식들도 블로그 어딘가에 잘 숨어 있습니다. 제가 지금까지 어떻게 이런 이상한 계산들을 할 수 있었는지 궁금해하시는 분들이 있을 것 같습니다. 하지만 저는..

Motivated by a problematic exercise in an analysis textbook, I decided to prove the following proposition. 1. The statement Theorem. There exists an ordered field $F$ such that it satisfies the nested interval property but does not satisfy the completeness axiom. Before the proof, we should explain what a non-principal ultrafilter means. Given a set $X$, a subset $\mathcal{U}$ of $\mathcal{P}(X)..

최근의 포스팅 「오늘의 계산 53」과 관련하여, 다음과 같은 관찰을 하였습니다. \begin{align*} \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right) \, dx &= \lim_{s\to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right), \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{2} \, dx &= -2 \zeta'(0) -\frac{3}{2}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{3} \, dx &= -6 \zeta '(-1) -\frac{19}{24}, \\ \..

요즘 StackExchange에서 노닥거리다가 줏은 문제 몇 개를 조금씩 각색해서 올려봅니다. Problem 1.Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be sequences of non-negative real numbers which are not identically zero. Also, let $(c_n)$ be the Cauchy product of these sequences: $$ c_n = (a \ast b)_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}. $$ Prove that $$ \limsup_{n\to\infty} c_{n}^{1/n} = \max \left\{ \limsup_{n\to\infty} a_{n}^{1/n}, \limsup_{n\to\infty} b_{..

p-adic number에 익숙하다면 그냥 몇 줄 끄적이면 바로 따라나오는 정리인데, 오랜만에 다시 보니깐 그냥 싱숭생숭해서 다시 적어봅니다. 당분간은 유학 준비 - 특히 회화 준비 - 로 인해 수학 공부는 좀 쉴 것 같으니, 이렇게 간단한 내용들이나 스크랩해서 정리해볼까 하네요. 그나저나 역시 저는 뭘 해도 해석학적인 계산으로 때려박아야 직성이 풀리나봅니다. =ㅁ= Wolstenholme's Theorem. Let $p > 3$ be a prime number. If we write \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{r}{q} \end{align*} in lowest term, then $r \equiv 0 \ (\math..

쉬운 것도 어렵게 하라! \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}\;dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\cos x\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(1+x^2)t}\;dt\right)dx\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\cos x\,e^{-tx^2}\;dx\right)dt\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx^2+ix}\;dx\right)dt\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t-\frac{1}{4t}}\left(\int_{-\infty}^{\inf..

으아니, 그저 굽신굽신! 비록 강연의 처음 5분밖에 못 알아들었지만, 괜찮습니다! 으아아앟~

The purpose of this posting is to encourage this blog not to suffer from stagnation, though I'm not sure whether it will work or not. Here, we introduce a very easy calculation, though in a slightly unfamiliar fashion. \begin{align*} \int\sqrt{\tan x}\;dx &=\int\frac{2t^2}{t^4+1}\;dt\qquad(t=\sqrt{\tan x})\\ &=\int\frac{2}{t^2+t^{-2}}\;dt\\ &=\int\left(\frac{1-t^{-2}}{\left(t+t^{-1}\right)^2-2}+..

확률론적인 방법으로 1-D heat equation을 푸는 방법을 간단하게 Mathematica로 구현해보았습니다. 아래의 그래프 는 $t = 0$ 일 때 $[-1, 1]$에서 $1$의 값을 갖고 나머지 지점에서는 모두 $0$인 초기조건이 주어졌을 때, \begin{equation}\label{heat_eq} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\Delta u \end{equation} 를 Monte-Carlo method로 계산하여 $(t, x) \in [0, 1] \times [-2, 2]$ 영역에서 밀도그래프로 그린 것입니다. (왜 굳이 \eqref{heat_eq}에서 $\Delta$ 앞에 $\frac{1}{2}$를 붙였냐면, Brownian motion의 ..

이런 거라도 올려야 블로그가 정체되지 않겠지요? 으헣헣 ;ㅅ; Tonelli's theorem enables us to exchange the order of integration and summation of a sequence of nonnegative functions. Thus for \( 0 < r < 1 \), \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{r^n}{n!} \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \; dx & = \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(rx)^n}{n!} e^{-x} \; dx = \int_{0}^{\infty} e^{-(1 - r)x} \; dx \\ & = \frac{1}{1 -..

고딩때 독서실에서 하라는 시험공부는 안 하고 노트에 끄적였던 내용이 문득 떠올라서, 조금 다듬어서 올려봅니다. Definition 1.네 행렬 \(U\), \(I\), \(J\), \(K\)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} 그러면 다음과 같은 관찰을 할 수 있습니다. ..