아아, 뭔가가 느껴져요! 크고, 아름다운…?!?!

최근의 포스팅 「오늘의 계산 53」과 관련하여, 다음과 같은 관찰을 하였습니다.

\begin{align*} \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right) \, dx &= \lim_{s\to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right), \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{2} \, dx &= -2 \zeta'(0) -\frac{3}{2}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{3} \, dx &= -6 \zeta '(-1) -\frac{19}{24}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{4} \, dx &= -10 \zeta '(-2)-2 \zeta '(-1)-\frac{37}{72}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{5} \, dx &= -\frac{35}{3} \zeta '(-3)-\frac{15}{2} \zeta '(-2)-\frac{5}{3} \zeta '(-1)-\frac{3167}{8640}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{6} \, dx &=-\frac{21}{2} \zeta '(-4)-14 \zeta '(-3)-\frac{31}{4} \zeta '(-2)-\frac{3}{2} \zeta '(-1)-\frac{1001}{3600}. \end{align*}

뭔가 제타함수의 미분과 깊은 관련이 있다는 느낌이 오는데, 그게 뭔질 모르겠네요.

 

p.s. Math StackExchange의 힘을 빌려, 다음과 같은 등식을 얻어냈습니다. (단, $m \geq 2$.)

\begin{align*} & \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{m} \, dx \\ &= -\frac{H_{m-1}}{(m-1)!} + \frac{1}{(m-1)!} \sum_{k=1}^{m-1} \left[{{m-1}\atop{k}}\right] \zeta(1-k) \\ &\quad - \frac{1}{(m-2)!}\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{l=m-j}^{m-1} \binom{m}{j} \binom{m-2}{j-1} \left[{{j-1}\atop{l+j-m}}\right] \{ \zeta'(1-l) + H_{m-j-1} \zeta(1-l) \}. \end{align*}

단, $\left[{{n}\atop{k}}\right]$ 은 unsigned Stirling's number of the first kind입니다.