아아, 뭔가가 느껴져요! 크고, 아름다운…?!?!

최근의 포스팅 「오늘의 계산 53」과 관련하여, 다음과 같은 관찰을 하였습니다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})dx& =\underset{s\to 1}{lim}(\zeta (s)-\frac{1}{s-1}),\\ {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{2}dx& =-2{\zeta }^{\prime }(0)-\frac{3}{2},\\ {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{3}dx& =-6{\zeta }^{\prime }(-1)-\frac{19}{24},\\ {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{4}dx& =-10{\zeta }^{\prime }(-2)-2{\zeta }^{\prime }(-1)-\frac{37}{72},\\ {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{5}dx& =-\frac{35}{3}{\zeta }^{\prime }(-3)-\frac{15}{2}{\zeta }^{\prime }(-2)-\frac{5}{3}{\zeta }^{\prime }(-1)-\frac{3167}{8640},\\ {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{6}dx& =-\frac{21}{2}{\zeta }^{\prime }(-4)-14{\zeta }^{\prime }(-3)-\frac{31}{4}{\zeta }^{\prime }(-2)-\frac{3}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)-\frac{1001}{3600}.\end{array}$$

뭔가 제타함수의 미분과 깊은 관련이 있다는 느낌이 오는데, 그게 뭔질 모르겠네요.

 

p.s. Math StackExchange의 힘을 빌려, 다음과 같은 등식을 얻어냈습니다. (단, $m\ge 2$.)

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^1{(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x})}^{m}dx\\ & =-\frac{H_{m-1}}{(m-1)!}+\frac{1}{(m-1)!}\sum _{k=1}^{m-1}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{k}\right]\zeta (1-k)\\ & -\frac{1}{(m-2)!}\sum _{j=1}^{m-1}\sum _{l=m-j}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-2}{j-1})\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{j-1}{l+j-m}\right]\{{\zeta }^{\prime }(1-l)+H_{m-j-1}\zeta (1-l)\}.\end{array}$$

단, $\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right]$ 은 unsigned Stirling's number of the first kind입니다.