잡담을 위한 소박한 장소

Today's integral is so called Abel's integral, which is given by Problem. \begin{equation} \label{eq:prob} \int_{0}^{\infty} \frac{t \; dt}{(e^{\pi t} - e^{-\pi t})(t^2 + 1)} \end{equation} Now our aim is to evaluate \eqref{eq:prob} in closed form. We preliminarily introduce a function that will play a key role throughout the calculation. Let $k$ be a nonnegative integer. Then we define polygamm..

오늘 올리는 계산은 Coxeter's Integrals라는 적분의 계산입니다. 사실 이 적분을 처음 접한 것은 몇 년 전이지만, 그 동안은 번번히 계산에 실패했었습니다. 그러던 중, 지난 번 「오늘의 계산 37」의 접근법을 기본으로 하고, 아크코사인을 적절히 변형하는 방법을 발견해내어 이렇게 계산에 성공하게 되었습니다. 으, 참으로 긴 여정이었습니다만 그만큼 뿌듯하긴 하네요. Problem (Coxeter's integrals). Verify the following identities. \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{-1} \left( \frac{\cos x}{1+2\cos x}\right) \, dx & = \frac{5}{4} \zeta(2) \la..

Today's integral is a famous one. $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \arctan\sqrt{\frac{\cos2\theta}{2\cos^2\theta}} \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi^2}{24}. $$ To calculate this, we first note that \begin{gather*} \arctan(\alpha) = \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^2 x^2} \, \mathrm{d}x, \tag{1} \\ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+\alpha^2)(x^2 + \beta^2)}=\frac{\pi}{2\alpha\beta(\alpha+\bet..

…을 가장한, 옛날에 AoPS에 답변으로 올렸지만 티스토리로 퍼오기 매우 귀찮아서 그냥 방치했던 계산 하나를 올려봅니다. 다른 꼴의 삼각함수 적분에도 쓸 수 있는 테크닉이 아닐까 해서 이렇게 올려봅니다. Today's integral we are going to evaluate is a famous one, . Solution 1 (by elementary calculus). It is clear that . To determine for , we consider the difference for . Some trigonometric identities show that Since it follows that and for . Therefore for all . Solution 2 (by complex ..

블로그의 정체를 막기 위해 오늘도 쉬운 계산 몇 가지를 적어보고자 합니다. [계산 1] α, β > 0 일 때 다음 계산이 성립합니다. 여기서 특별한 설명이 필요한 부분은 (1)에서 (4)에 해당하는 부분입니다. 우선 (1)은 제가 예전에 올린 글 중에서 적분의 교환가능성을 약간 확장한 것에 대한 글을 참조하시면 됩니다. 그리고 (2)와 (3)은 Lebesgue's dominated convergence theorem을 적용하면 되고, (4)는 감마함수의 미분으로부터 유도됩니다. [계산 2] 역시 쉬운 계산입니다. 오일러 적분의 일종이죠. 앗흥~

오늘의 계산은 증명은 계산노트 #013을 참조하세요!

Problem. Evaluate the following integral. \begin{equation}\label{eqn:wts} \int_{0}^{1}\frac{\log \cos ( \frac{\pi x}{2} )}{x (x+1)} \, dx \end{equation} We first introduce a lemma which will play the key role to our calculation. Lemma. Define the function $F(s)$ by \begin{equation*} F(s) = \int_{0}^{1} \frac{\log | \cos (sx) | }{x} \, dx - \int_{1}^{2} \frac{\log | \sin (sx) | }{x} \, dx. \end{e..

오늘 포스팅할 계산은 세 가지 적분입니다. 이중 아래의 두 적분은 복소해석학 테크닉을 이용하면 쉽게 풀리는 일종의 연습문제 수준의 적분입니다. 풀이는 제 스프링노트의 계산노트 #010을 참조하세요. 그리고 아래 적분 은 오늘의 계산 29와 비슷한 방식으로 풀 수 있으며, 제 스프링노트의 계산노트 #011을 참조하시면 풀이를 보실 수 있습니다. p.s. 계산 틀린게 하나 있어서 은근슬쩍 지웠다는 건... 비밀입니다. 데헷 ♡

이번에 성공한 계산은 다음 두 적분입니다. 특히 아래 적분은 처음 본 때가 2008년 6월 13일이었고, 가끔 생각날 때마다 끄적였으나 실패했던 적분이니, 거의 16개월만에 풀어낸 셈이군요. 이런 걸 보면 저도 아직 멀고 멀었나 봅니다. 두 적분에 대한 계산은, 자세하게 풀어서 적어드리고 싶지만 제게 허락된 시간이 거의 없는 관계로 각각 * 수학 노트 : #005 * 수학 노트 : #003 을 참조하세요.

아, 자대에서는 아무래도 시간도 없고, 갖고 들어온 잡지(Scientific American, Nature 등)나 소설책(잘린머리 사이클)도 읽어야 하니 뭔가 멋진 계산을 할 시간이 없군요. 그리고 검산할 시간도 부족하네요. 그래서 아래 계산은 솔직히 허접하기도 하고 아직 검산도 못 해봤습니다. 그래도 이등병이 싸지방을 이용할 수 있는 유일하게 허락된 이 시간을 빌려 블로그의 정체를 막기 위한 발악은 해봐야겠습니다. 오늘도 역시 속사포 계산입니다. -_- 단, 여기서 다음 등식 을 사용했으며, 위 등식에서 무한합은 대칭적으로, 즉 -N부터 N까지의 합에 N→∞을 취한 것입니다. (2009/09/20) 위 값을 최종적으로 계산해보면 1/cosh(πω) 가 됩니다. 즉, 이 함수는 푸리에 변환에 대해 불변입..

군대에서도 짬이 생기면 이런 계산을 할 수 있다는 것을 보여드리고 싶었습니다! 오늘 계산할 적분은 다음 적분입니다: 단, p, q > 0 이고 1-p < r < 1+min(p,q) 입니다. 우선 r이 0이 아니라고 가정하고 이 적분을 계산해봅시다. 그러면 간단한 계산과정을 통해 감마함수를 포함하는 닫힌 식을 얻습니다. 그리고 I(r)의 연속성을 이용하여 r→0 의 극한을 취하면 I(0) 의 값을 얻고, 실제로 계산해보면 라는 결론을 얻습니다. 단, γ는 오일러-마스케로니 상수입니다.

Today we are going to prove the unproven assertion in the previous posting 「오늘의 계산 16」, and also establish a proof of the observation in 「여러가지 잡담」. Theorem. Let $\alpha$ be a complex number away from negative integers, and denote \begin{equation*} \binom{\alpha}{z} := \frac{\alpha!}{z!(\alpha-z)!} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(z+1)\Gamma(\alpha-z+1)} \end{equation*} the extended binomial coef..

오늘 계산할 적분은 이것입니다. 단, 여기서 팩토리얼은 감마함수를 이용하여 정의된 것으로 해석합니다. 적분이 아니라 합이라면 위 식이 성립하는 건 n이 음이 아닌 정수일 때 바로 따라나오는 내용입니다. 그렇지만 적분에 대해서도 같은 결과가 성립한다는 건 좀 신기한 결과죠. 사실 수치해석적인 계산을 이용하면 위 식이 임의의 음이 아닌 실수 n에 대해 성립함을 짐작할 수 있지만, 일단 제가 계산에 성공한 것은 n이 음이 아닌 정수일 때뿐입니다. 증명은 감마함수의 반사공식을 이용합니다. 계산해보면, 가 되므로 증명됩니다. 사실은 임의의 0 이상의 실수 n에 대해 다음 등식이 성립한다고 믿고 있습니다만, 수치적인 계산상의 심증은 있어도 실제로 증명은 아직 못 했습니다. p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를..

오늘도 숨 좀 돌리는 가벼운 적분입니다. 단, φ는 황금비입니다. 저 적분을 golden integral이라고 부르기도 하는 것 같은데, 뭐 일반적으로 알려진 적분은 아닌 것 같네요.

오늘은 그냥 쉬어가기로 매우 쉬운 적분을 하나 올립니다. 복소 테크닉으로 간단하게 풀리던가 안 풀리던가 기억은 잘 안나는 그런 적분입니다…. -_-ㆀ 목표는 위 적분을 계산하는 건데, 간단합니다. 0 < z < 1 이라고 합시다. 그러면 이므로, 양 변을 미분하고 16으로 나누면 을 얻습니다. 따라서 z = 1/4 를 대입하면 끝. 어때요. 참 쉽죠?

더운 방 안에 쳐박혀서 땀을 뻘뻘 흘리며 1시간 반 동안 계산한 끝에 얻은 결과입니다. 마치 프라모델광이 방에 쳐박혀 프라모델을 조립해 어엿한 1/100 MG 자×를 만들어내는 것과 비슷한 마음으로 풀었습니다. (이녀석, 위험하다... (˚;ε;˚;)a) 단, 여기서 γ1은 스틸체스 상수(Stieltjes constant) 입니다. 이런 상수가 있다는 건 알고 있었지만, 실제로 계산할 때에 바로 이 상수가 저 자리에 들어간다는 걸 깨닫지는 못했습니다. 그래서 이 상수의 값을 결정하기 위해 1시간동안 삽질을 했죠. 원래 제가 얻은 결과는 입니다. 단, 입니다. 처음 1시간동안은 c가 closed form으로 나타날 거라고 믿고 계산질을 했지만, 결과는 ㅇ

첫 번째 적분은 쉽게 계산됩니다. 문제는 두 번째 적분입니다. 사실 첫 번째 적분을 잘못 계산하는 과정에서 두 번째 적분을 계산하게 되었는데, 이 어떻게 주어지는가를 프로그램으로 관찰하다가 우연히 저 등식이 성립함을 알아냈습니다. 그런 의미에서 아직까지 두 번째 적분은 계산을 못 한 것이죠. 열심히 끙끙거리고 있지만 신통치 않군요 -_-;; 드디어 미성숙한 계산에 끝을 볼 때가 왔습니다. 오늘 열심히 펜을 굴린 덕에 마침내 두 번째 등식을 증명하는 데 성공했습니다. 하지만 본론에 들어가기 앞서, 이를 위한 몇 가지 사전준비가 필요합니다. 우선은 다음 등식입니다. 증명은 아주 쉬우므로 패스하도록 하겠습니다. 다음으로 여러분께서 Li2, 즉 dilogarithm의 정의와 아주 기초적인 성질 정도는 알고 계신..

오늘의 허접한 계산은 다음 적분입니다. 이야... 저도 처음 봤을 때에는 "진짜 이런 게 적분 가능해?" 라고 외쳤습니다만, 상수가 아주 절묘하게 조절되어 있어서 그런지 풀리더군요. 어쨋든 풀이 나갑니다. 라고 둡시다. 그러면 이므로, 입니다. 그런데 이므로, 증명됩니다.

수강신청을 기다리다가 심심해서 돌아다니던 중 발견한 적분입니다. 어려울 줄 알았는데, 아무 생각없이 평소에 쓰던 테크닉을 적용했더니 그냥 직빵으로 풀려서 뭔가 허무했습니다... orz

아... 더워! 집중이 안돼! 책이 손에 안 잡혀! 검은 건 글씨인데... orz 이 해면처럼 구멍이 숭숭난 귀차니스트 대뇌에 구원을...! 아, 어쨋든 오늘의 계산은 그냥 간단한 거 적고 넘어갑니다.