…을 가장한, 옛날에 AoPS에 답변으로 올렸지만 티스토리로 퍼오기 매우 귀찮아서 그냥 방치했던 계산 하나를 올려봅니다. 다른 꼴의 삼각함수 적분에도 쓸 수 있는 테크닉이 아닐까 해서 이렇게 올려봅니다.




Today's integral we are going to evaluate is a famous one,

.



Solution 1 (by elementary calculus). It is clear that . To determine for , we consider the difference for . Some trigonometric identities show that



Since



it follows that and for . Therefore for all .



Solution 2 (by complex analysis). It is easy to see, by the substitution , that

.

Thus for ,



Since



we have for .



Solution 3 (by advanced calculus). Let for . We further assume , for the convenience of calculation. Then



But note that



where is the harmonic number, and logarithmic differentiation of



gives



which implies that



as . Also, for , we find that



Therefore we have



which simplifies to



In special cases, taking for gives .
Posted by sos440

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  1. 러블리이쌤 2010/08/12 01:41  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 , 이 어지러운 함수들이란 골치야 ㅋㅋ ㅠ

  2. 정체모를 2010/08/12 02:07  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    위에 초등 미적분학과 복소해석학을 이용한 방법은 이해가 가나 젤 밑의 증명방법은 엄청나네요...
    그보다 이 문제를 어떻게 구하냐와 구한 문제를 어떻게 이렇게 손쉽게 풀 수 있는지 궁금함 [앞으로 자주 들릴듯 하네요]

  3. 2010/09/03 12:58  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  4. soundoftrue 2010/12/29 10:33  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수학잘하셔서 좋으시겠어요^^
    저도 잘하고 싶은데ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ



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