잡담을 위한 소박한 장소

Problem. Prove the following identities. \begin{equation}\label{eqn:wts} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}} = \frac{2}{5} \zeta(3), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 2^n \binom{2n}{n}} = \frac{1}{4} \zeta(3) - \frac{1}{6}\log^3 2 \end{equation} We divide the proof into several lemmas. Lemma 1. For $|x| < 1$. \begin{equation}\label{eqn:wts_lem_1} \int_{0}^{x} ..

Today we are going to prove the unproven assertion in the previous posting 「오늘의 계산 16」, and also establish a proof of the observation in 「여러가지 잡담」. Theorem. Let $\alpha$ be a complex number away from negative integers, and denote \begin{equation*} \binom{\alpha}{z} := \frac{\alpha!}{z!(\alpha-z)!} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(z+1)\Gamma(\alpha-z+1)} \end{equation*} the extended binomial coef..

오늘 계산할 적분은 이것입니다. 단, 여기서 팩토리얼은 감마함수를 이용하여 정의된 것으로 해석합니다. 적분이 아니라 합이라면 위 식이 성립하는 건 n이 음이 아닌 정수일 때 바로 따라나오는 내용입니다. 그렇지만 적분에 대해서도 같은 결과가 성립한다는 건 좀 신기한 결과죠. 사실 수치해석적인 계산을 이용하면 위 식이 임의의 음이 아닌 실수 n에 대해 성립함을 짐작할 수 있지만, 일단 제가 계산에 성공한 것은 n이 음이 아닌 정수일 때뿐입니다. 증명은 감마함수의 반사공식을 이용합니다. 계산해보면, 가 되므로 증명됩니다. 사실은 임의의 0 이상의 실수 n에 대해 다음 등식이 성립한다고 믿고 있습니다만, 수치적인 계산상의 심증은 있어도 실제로 증명은 아직 못 했습니다. p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를..