잡담을 위한 소박한 장소

이번에 성공한 계산은 다음 두 적분입니다. 특히 아래 적분은 처음 본 때가 2008년 6월 13일이었고, 가끔 생각날 때마다 끄적였으나 실패했던 적분이니, 거의 16개월만에 풀어낸 셈이군요. 이런 걸 보면 저도 아직 멀고 멀었나 봅니다. 두 적분에 대한 계산은, 자세하게 풀어서 적어드리고 싶지만 제게 허락된 시간이 거의 없는 관계로 각각 * 수학 노트 : #005 * 수학 노트 : #003 을 참조하세요.

더운 방 안에 쳐박혀서 땀을 뻘뻘 흘리며 1시간 반 동안 계산한 끝에 얻은 결과입니다. 마치 프라모델광이 방에 쳐박혀 프라모델을 조립해 어엿한 1/100 MG 자×를 만들어내는 것과 비슷한 마음으로 풀었습니다. (이녀석, 위험하다... (˚;ε;˚;)a) 단, 여기서 γ1은 스틸체스 상수(Stieltjes constant) 입니다. 이런 상수가 있다는 건 알고 있었지만, 실제로 계산할 때에 바로 이 상수가 저 자리에 들어간다는 걸 깨닫지는 못했습니다. 그래서 이 상수의 값을 결정하기 위해 1시간동안 삽질을 했죠. 원래 제가 얻은 결과는 입니다. 단, 입니다. 처음 1시간동안은 c가 closed form으로 나타날 거라고 믿고 계산질을 했지만, 결과는 ㅇ

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..