정말 오랜만이네요. 요즘 정신도 없고 계산을 통 안하는 바람에…

Proposition. We have the following[1]: $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{n!} \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k} k^{n-1} \log k = 2. $$

A proof can be found here.

P.s. 뜬금없는 사족 하나. 일전에 일러스트들을 모아놓은 페이지들을 전에 시리즈로 올린 적이 있는데, 어떤 분이 저작권 문제를 지적하였기에 글을 내렸습니다. 저작권 문제 때문에 소란에 휘말리긴 싫네요…. 널리 퍼뜨릴 수록 모두에게 이득이 되는 홍익정신의 결정체인 수학에나 더 매진해야겠습니다.

References

  1. r9m, Finding the limit of a sequence with an undesirable $\ln k$ - Math StackExchange
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Posted by sos440

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  1. aa 2014/06/20 16:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    존경합니다.

  2. 2014/07/29 02:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • sos440 2014/07/30 17:40  댓글주소  수정/삭제

      주어진 방정식을 만족시키는 $(x, k)$들의 순서쌍들을 모은 자취를 $Z$라고 합시다. 그러면 $Z$는 $xy$-평면상에 어떤 곡선을 그립니다. 이때 문제가 원하는 $k$의 값들은, $x$축에 평행한 직선 $y = k$이 $Z$와 만나는 점이 2개가 되는 $k$들이 됩니다.

      이를 풀기 위하여 실제로 $Z$를 구해봅시다. 주어진 방정식을 $k$에 대하여 풀면
      $$ k = -x^{2} + x \quad \text{or} \quad -x^{2} - x - 1 $$
      이 나옵니다. 즉 $Z$는 이 두 그래프의 합집합입니다. 따라서 이 둘의 그래프를 그려보면 원하는 $k$의 볌위를 쉽게 결정할 수 있습니다. 특히, $y = -x^{2} - x - 1$ 의 꼭지점 $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$를 $y = -x^{2} + x $가 지나므로, 그래프로부터 우리가 원하는 $k$의 범위는 $-\frac{3}{4} < k < \frac{1}{4}$ 임을 얻습니다.

    • aa 2014/08/01 00:29  댓글주소  수정/삭제

      하... 정말 감사드립니다. ㅠ.ㅠ



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