정말 오랜만이네요. 요즘 정신도 없고 계산을 통 안하는 바람에…

Proposition. We have the following[1]: $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{n!} \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k} k^{n-1} \log k = 2. $$

A proof can be found here.

P.s. 뜬금없는 사족 하나. 일전에 일러스트들을 모아놓은 페이지들을 전에 시리즈로 올린 적이 있는데, 어떤 분이 저작권 문제를 지적하였기에 글을 내렸습니다. 저작권 문제 때문에 소란에 휘말리긴 싫네요…. 널리 퍼뜨릴 수록 모두에게 이득이 되는 홍익정신의 결정체인 수학에나 더 매진해야겠습니다.

References

  1. r9m, Finding the limit of a sequence with an undesirable $\ln k$ - Math StackExchange
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Posted by sos440

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  1. aa 2014/06/20 16:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    존경합니다.

  2. 2014/07/29 02:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • sos440 2014/07/30 17:40  댓글주소  수정/삭제

      주어진 방정식을 만족시키는 $(x, k)$들의 순서쌍들을 모은 자취를 $Z$라고 합시다. 그러면 $Z$는 $xy$-평면상에 어떤 곡선을 그립니다. 이때 문제가 원하는 $k$의 값들은, $x$축에 평행한 직선 $y = k$이 $Z$와 만나는 점이 2개가 되는 $k$들이 됩니다.

      이를 풀기 위하여 실제로 $Z$를 구해봅시다. 주어진 방정식을 $k$에 대하여 풀면
      $$ k = -x^{2} + x \quad \text{or} \quad -x^{2} - x - 1 $$
      이 나옵니다. 즉 $Z$는 이 두 그래프의 합집합입니다. 따라서 이 둘의 그래프를 그려보면 원하는 $k$의 볌위를 쉽게 결정할 수 있습니다. 특히, $y = -x^{2} - x - 1$ 의 꼭지점 $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$를 $y = -x^{2} + x $가 지나므로, 그래프로부터 우리가 원하는 $k$의 범위는 $-\frac{3}{4} < k < \frac{1}{4}$ 임을 얻습니다.

    • aa 2014/08/01 00:29  댓글주소  수정/삭제

      하... 정말 감사드립니다. ㅠ.ㅠ

  3. 봄이예요 2014/09/03 17:40  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    혹시 다음 증명에 대해서 어디 자료 있는거 아시는지요.

    교수님이 첫시간이라고 과 외 수업으로 다루신건데..

    (a1+a2+...+an)/n >= n rt a1*a2*...*an

    를 증명하여라.

    hint) ( a^2 + b^2 ) / 2 - a*b = (a - b)^2 / 2 >= 0

    • sos440 2014/09/04 05:27  댓글주소  수정/삭제

      다음은 개략적인 증명의 스텝입니다.

      1. 산술기하부등식 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, $(a, b \geq 0)$ 이 성립함을 증명해봅시다.

      2. 산술기하부등식을 거듭 적용해서 (혹은 수학적 귀납법을 이용해서), 증명하고자 하는 부등식의 $n = 2^{m}$인 특별한 경우가 성립함을 증명해봅시다:
      $$ \frac{a_{1} + \cdots + a_{2^{m}}}{2^{m}} \geq \sqrt[2^{m}]{a_{1}\cdots a_{2^{m}}}. $$

      3. 임의의 $n$에 대하여, $2^{m} > n$ 인 $m$을 잡은 후, $\mu = (a_{1} + \cdots + a_{n})/n$ 으로 둡시다. 그리고 다음 $2^{m}$개의 수
      $$ a_{1}, \cdots, a_{n}, \underbrace{\mu, \cdots, \mu}_{2^{m}-n} $$
      에 2번 부등식을 적용해봅시다.

  4. 나그네 2014/09/16 23:19  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아직까지도 수학을 공부하시는군요. 정말 대단하십니다.



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