드디어 Qual을 끝내고 나니, 이젠 개강이 내일이네요. 허허허, 쉴 틈이 없구나…. 아래 명제는 제가 직접 푼 건 아니지만 fact가 마음에 들어서 한번 올려봅니다.

Proposition. (by orangeskid)[1] Suppose that $\rho_{1}, \cdots, \rho_{n} > 0$ and $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}, \beta \in \Bbb{R}$. Then the function $$ \phi(x) = x - \beta - \sum_{i=1}^{n} \frac{\rho_{i}}{x - \alpha_{i}} $$ preserves measure in the sense that $|\phi^{-1}(E)| = |E|$ for any measurable set $E$. (Here, $|\cdot|$ denotes the Lebesgue measure on $\Bbb{R}$.) Consequently, for any integrable function $f$, $f \circ \phi$ is also integrable and we have $$ \int_{\Bbb{R}} f(\phi(x)) \, dx = \int_{\Bbb{R}} f(x) \, dx. $$

References

  1. orangeskid, How to compute $\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac{(x^2-13x-1)^2}{611x^2}\right)\ dx$ - Math StackExchange
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Posted by sos440

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  1. arconjello 2014/10/05 19:05  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    왠지 신기하네요 ㅋㅋㅋ

  2. sodong212 2014/10/06 11:03  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    혹시 Ergodic theory 전공하시나요?

    • sos440 2014/10/13 04:32  댓글주소  수정/삭제

      아뇨 저는 딱히 ergodic을 공부하진 않습니다. 다만 저 명제는 ergodic 책에 나오는 내용이라네요. 위와 같은 함수들의 family가 measure preserving semigroup of rational functions on R이 된다고 하네요.

  3. 이원웅 2014/10/07 23:27  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    orangeskid...이름 특이하네



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