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이번 포스팅에서는 뜬금없이 해석학 한 문제 다뤄보겠습니다. Theorem. Let $(X, d)$ be a compact metric space, and let $f:X\to X$ be a surjective $1$-Lipschitz function. Then $f$ is an isometry. Proof. Let $f^{\circ n}$ denote the $n$-fold composition of $f$, that is, $f^{\circ 0} = \mathrm{id}_{X}$ and $f^{\circ(n+1)} = f\circ f^{\circ n}$. By the assumption, the family $(f^{\circ n})_{n=1}^{\infty}$ is $1$-Lipschitz, henc..

Darboux method 란, 주어진 power series 혹은 Laurent series 의 계수들의 점근적인 행동을 조사할 때 유용한 방법 중 하나입니다. 이 방법은 간단하게 설명하자면 다음과 같습니다: 멱급수 $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 가 $$ f(z) = g(z) + h(z), $$ 와 같은 꼴로 분해지며, 여기서 $g(z)$ 는 "조사하기 쉬운" 함수이며 $h(z)$ 는 "작은" 함수라고 합시다. 그러면 $f(z)$ 의 계수들 $(a_n)$ 의 점근적 행동이 $g(z)$ 의 계수들과 거의 비슷하다는 것이 이 방법의 요지입니다. 더욱 자세한 내용은 DLMF 의 해당 항목에서 확인하실 수 있습니다. 이 방법을 실제로 적용해보기 위하여, 다음과 같은 수열의 ..

제 Blogger 블로그에 몇 달 전에 올렸던 계산인데, 좀 마음에 들어서 여기서도 공유하고자 가져왔습니다. Calculation 1. We have $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{8} - 4x^{6} + 9x^{4} - 5x^{2} + 1}{x^{12} - 10x^{10} + 37x^{8} - 42x^{6} + 26x^{4} - 8x^{2} + 1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}. $$ This is Problem 11148 of American Mathematical Monthly, Vol.112, April 2005. Proof. For each $f(z) \in \mathbb{C}[z]$, we define $f^*(z) = \overline{f(\..