잡담을 위한 소박한 장소

드디어 qual 을 끝내고 나니, 이젠 개강이 내일이네요. 허허허, 쉴 틈이 없구나… 아래 명제는 제가 직접 푼 건 아니지만 그 내용이 마음에 들어서 한번 올려봅니다. Glasser 마스터 정리.[1] 상수 $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n} > 0$ 와 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta \in \mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 $$ \phi(x) = x - \beta - \sum_{i=1}^{n} \frac{\rho_{i}}{x - \alpha_{i}} $$ 는 $\mathbb{R}$ 위의 르벡 측도 $\operatorname{Leb}$ 를 보존한다. 즉, 임의의 르벡 측도가능한 집합 $E \subseteq \m..

정말 오랜만이네요. 요즘 정신도 없고 계산을 통 안하는 바람에... 명제. 다음 사실이 성립한다[1]: $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}n^{2}}{n!} \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k} k^{n-1} \log k = 2. $$ 증명은 여기에서 찾을 수 있습니다. Addendum. 뜬금없는 사족 하나. 일전에 일러스트들을 모아놓은 페이지들을 전에 시리즈로 올린 적이 있는데, 어떤 분이 저작권 문제를 지적하였기에 글을 내렸습니다. 저작권 문제 때문에 소란에 휘말리긴 싫네요... 널리 퍼뜨릴 수록 모두에게 이득이 되는 홍익정신의 결정체인 수학에나 더 매진해야겠습니다. 참고 문헌 r9m, Finding the limit of a sequence w..

간단한 문제 하나로 오랜만에 블로그의 정적이나 깨 볼까 합니다. 문제. $a \in \mathbb{R}$ 라고 하자. 또한 수열 $a_{n} \in \mathbb{C}$ 가 다음의 점화식을 만족시킨다고 하자. \begin{align*} a_{n} = a_{n-1} + \frac{a}{n} a_{n-2}, \quad n \geq 2. \end{align*} 그러면 아래와 같은 estimate 가 성립함을 보여라: \begin{align*} a_{n} = \mathcal{O}\left( n^{a} \right). \end{align*} 증명. Let $A_{n}$ and $B_{n}$ be sequences of $2\times 2$ matrices defined by \begin{align*} A_{n} ..

드디어 몇 년동안 짬짬히 고민하던 적분 문제에 상당한 진척을 보였습니다. 일단은 급한 일이 있어서, 결과 요약이랑 작성중인 증명 파일만 올립니다. 나중에 좀 더 살을 붙여야지요. Finally I made a significant progress in the integral problem I was struggling for some years. As I am busy now, I just present here a summarized result and the article containing the main proof. Theorem 1. For $ p, q, r > 0 $, define the generalized Ahmed's integral by \begin{equation} \label{int..

While calculating a specific problem, I succeeded in proving a more general problem. Proposition. For $0 < r < 1$ and $r < s$, the following holds:[1] \begin{equation} \label{eq_wts} \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \log \left| \frac{1 + 2rsx + (r^{2} + s^{2} - 1)x^{2}}{1 - 2rsx + (r^{2} + s^{2} - 1)x^{2}} \right| \, dx = 4\pi \arcsin r. \end{equation} Proof. We divide the proof ..

나흘 연휴의 절반이 지나가는 동안 한 거라곤 폐인짓밖에 없네…. 공부해야지~ Proposition. The following holds:[1] \begin{equation*} \tag{1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan ( r \sin\theta ) \arctan ( s \sin\theta ) \, d\theta = \pi \chi_{2}(\alpha \beta), \end{equation*} where \begin{align*} \alpha = \frac{\sqrt{r^{2} + 1} - 1}{r}, \quad \beta = \frac{\sqrt{s^{2} + 1} - 1}{s} \end{align*} and $\chi_{2}$ is the Legendre chi funct..

위상수학 공부하던 도중 심심해서 샤샤샥 계산해봤습니다. $$ \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, \log t \, \mathrm{d}t = -\frac{\pi}{8}(1 + \log 4) $$

이주일 쯤 전인가 본 적분인데, 웬일인지 잘 안 풀리다가 오늘 너무나도 어이없게 쉽게 풀려버려서, 홧김에 블로그에도 질러봅니다. $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{e^x - 1}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^3}{3} + 4\pi \log^2 2 $$

[뉴스] 63세 전직 경비원, 38년 수학난제 풀어 난 경비원보다 못한 거였구나... ;ㅅ; p.s. 경비원 분들을 무시하는 발언은 아닙니다.