잡담을 위한 소박한 장소

상당히 난이도 있는 적분이라고 합니다. 아래 첨부파일 에 풀이가 있긴 하지만, 프랑스어는 못 읽어서 이해를 못 하겠더군요. 그러므로 이 블로그에서 위 적분에 대한 풀이를 올릴 수 있는 날이 올 지는 모르겠습니다. p.s. 요즘 계산을 거의 안 올려서 그런지 블로그가 한산하네요. -ㅁ-;;

다음 부등식 이 p ≥ 2 에 대해 항상 성립하고, 등호가 성립할 필요충분조건이 p = 2 임을 보이는 문제입니다. Keith Ball은 University College London의 교수를 역임하고 있는 사람입니다. 그가 이 부등식을 직접 이용했는지 아니면 이것보다 더 간단한 형태의 부등식을 이용했는지는 모르겠지만, 어쨋든 그는 이 부등식을 이용하여, unit hypercube를 hyperplane으로 자른 단면의 부피가 최대 √2 라는 아름다운 사실을 증명하였습니다. 이 명제의 증명 자체는 아름다웠지만, K. Ball이 위 부등식을 증명하는 데 사용한 테크닉은 매우 끔찍한 계산덩어리였습니다. 후에 다른 수학자들이 훨씬 더 간단한 방법으로 위 부등식을 증명하는 데 성공합니다. 다음 증명이 그 증명인지..

Ahmed's Integral 이것도 좀 쇼킹합니다. 풀이는 다음과 같습니다. 여기서 다음과 같은 부정적분 공식 (단, a > 1) 을 사용했습니다. 아, 물론 제가 생각해낸 풀이는 아니고 저도 보고 배운 풀이입니다. -_-;; 위의 사이트를 들어가보면 이것 말고도 다른 버전들이 있는데, 바로 위에서 소개한 풀이를 잘 뜯어보면 알 수 있듯이, 위 풀이는 오직 저 적분에만 통하고 다른 버전의 Ahmed's integral에는 먹히지 않음을 알 수 있습니다. 여러가지 변형을 시도해보고 있는데, 잘 안 먹히는군요.

Ramanujan Cos/Cosh Identity 다음 식이 임의의 θ에 대해 성립한다고 합니다. 라마누잔은 변태다. 그래, 변태다... 변태임에 틀림없어! ( ˚Д˚)ㆀ 처음 저 식을 보자마자 제 입에서 나온 것은 오직 '와아' 하는 탄성뿐... orz