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수학 얘기/일반

Darboux method

sos440 2023. 2. 15. 12:57

Darboux method 란, 주어진 power series 혹은 Laurent series 의 계수들의 점근적인 행동을 조사할 때 유용한 방법 중 하나입니다. 이 방법은 간단하게 설명하자면 다음과 같습니다: 멱급수 f(z)=n=0anzn

f(z)=g(z)+h(z),

와 같은 꼴로 분해지며, 여기서 g(z) 는 "조사하기 쉬운" 함수이며 h(z) 는 "작은" 함수라고 합시다. 그러면 f(z) 의 계수들 (an) 의 점근적 행동이 g(z) 의 계수들과 거의 비슷하다는 것이 이 방법의 요지입니다. 더욱 자세한 내용은 DLMF 의 해당 항목에서 확인하실 수 있습니다.

 

이 방법을 실제로 적용해보기 위하여, 다음과 같은 수열의 점근적 행동을 조사하는 문제를 생각해봅시다:

an=1(n1)!en0[k=1n1(x+k)]exdx

이를 위하여, (an) 을 계수로 갖는 멱급수 f(z) 를 생각합시다. (단, b0=0 으로 간주합니다.) 그러면

f(z)=n=1anzn=0[n=1(x+1)(x+n1)(n1)!enzn]exdx=0z(ez)x+1dz=z(ez)log(ez)

가 됩니다. 단, 세 번째 줄에서 일반화된 이항계수를 이용하여 무한급수를 정리하였습니다. 그런데 마지막 식의 함수는 z=e1 에서 simple pole 을 갖는 |z|<e 위에서의 유리형 함수(meromorphic function)입니다. 따라서 z=e1 에서의 f(z) 의 유수(residue)를 조사해보면

f(z)=e1e1z+h(z)

꼴로 적을 수 있으며, h(z)|z|<e 에서 해석적인 함수가 됩니다. 따라서 양변을 테일러 전개해보면

n=1anzn=n=0zn(e1)n+n=0bnzn

꼴로 주어지며, 여기서 bn=[zn]h(z)Cauchy–Hadamard theorem 으로부터 임의의 충분히 작은 ε>0 에 대하여 O((eε)n) 을 만족시킵니다. 따라서

an=1(e1)n+O((eε)n)

입니다.

출처

Gary, Finding asymptotic of en(n1)!0k=1n1(x+k)exdx, (Visited at: 2023-02-15)

 

 

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