Darboux method

Darboux method 란, 주어진 power series 혹은 Laurent series 의 계수들의 점근적인 행동을 조사할 때 유용한 방법 중 하나입니다. 이 방법은 간단하게 설명하자면 다음과 같습니다: 멱급수 $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 가

$$ f(z) = g(z) + h(z), $$

와 같은 꼴로 분해지며, 여기서 $g(z)$ 는 "조사하기 쉬운" 함수이며 $h(z)$ 는 "작은" 함수라고 합시다. 그러면 $f(z)$ 의 계수들 $(a_n)$ 의 점근적 행동이 $g(z)$ 의 계수들과 거의 비슷하다는 것이 이 방법의 요지입니다. 더욱 자세한 내용은 DLMF 의 해당 항목에서 확인하실 수 있습니다.

 

이 방법을 실제로 적용해보기 위하여, 다음과 같은 수열의 점근적 행동을 조사하는 문제를 생각해봅시다:

$$ a_n = \frac{1}{(n-1)!e^n} \int_{0}^{\infty} \left[ \prod_{k=1}^{n-1} (x+k) \right] e^{-x} \, \mathrm{d}x $$

이를 위하여, $(a_n)$ 을 계수로 갖는 멱급수 $f(z)$ 를 생각합시다. (단, $b_0 = 0$ 으로 간주합니다.) 그러면

\begin{align*} f(z) &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n \\ &= \int_{0}^{\infty} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)\cdots(x+n-1)}{(n-1)!e^n} z^n \right] e^{-x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{z}{(e - z)^{x+1}} \, \mathrm{d}z \\ &= \frac{z}{(e - z)\log(e - z)} \end{align*}

가 됩니다. 단, 세 번째 줄에서 일반화된 이항계수를 이용하여 무한급수를 정리하였습니다. 그런데 마지막 식의 함수는 $z = e - 1$ 에서 simple pole 을 갖는 $|z| < e$ 위에서의 유리형 함수(meromorphic function)입니다. 따라서 $z = e-1$ 에서의 $f(z)$ 의 유수(residue)를 조사해보면

$$ f(z) = \frac{e - 1}{e - 1 - z} + h(z) $$

꼴로 적을 수 있으며, $h(z)$ 는 $|z| < e$ 에서 해석적인 함수가 됩니다. 따라서 양변을 테일러 전개해보면

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{(e-1)^n} + \sum_{n=0}^{\infty} b_n z^n $$

꼴로 주어지며, 여기서 $b_n = [z^n] h(z)$ 는 Cauchy–Hadamard theorem 으로부터 임의의 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $\mathcal{O}\left( (e-\varepsilon)^{-n} \right)$ 을 만족시킵니다. 따라서

$$ a_n = \frac{1}{(e-1)^n} + \mathcal{O}\left( (e-\varepsilon)^{-n} \right) $$

입니다.

출처

Gary, Finding asymptotic of $ \frac{e^{-n}}{(n-1)!}\int_0^\infty\prod_{k=1}^{n-1}(x+k)e^{-x}dx$, (Visited at: 2023-02-15)