오늘의 계산 06 - A Challenging Infinite Summation

다음 급수

의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다.

우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면



가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해

와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면

이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다.

단, 여기서 ψ₀ 과 ψ₁ 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b, c)의 공식과 비교를 통해 바로 다음 사실을 확인할 수 있습니다.

다시 여기에 (a, b) = (2, 1) 을 대입하면

한편, 이 문제에서는 공식 (1)에 α = 3/4 를 대입해야 하는데, 잘 살펴보면 α - 1/2 = 1 - α 가 성립함을 알 수 있습니다. 그러므로 공식 (1)에서 α - 1/2 를 모두 1 - α 로 대체하면, 감마함수의 reflexion formula를 쓸 수 있겠다는 생각을 할 수 있습니다. 실제로, 0 < z < 1 에 대해 다음 공식이 성립합니다.

(4), (5)는 (3)에 로그를 씌우고 미분해보면 바로 확인됩니다. 이제 위 공식을 이용하면 식 (1)이 다음과 같이 바뀝니다.

그러므로 이제 를 구하는 일만 남았습니다. 여기서, 다음 공식이 성립함을 확인할 수 있습니다.

위  식에 z = 1/4 를 대입하면 다음 식이 성립하는 사실 역시 쉽게 확인할 수 있습니다.

단, 여기서 는 Catalan constant입니다. 따라서,

입니다.