잡담을 위한 소박한 장소

(2011 SEEMOUS Mathematical Competition, Problem 3) Show that for any three unit vectors \( \hat{a}\), \(\hat{b}\) and \(\hat{c}\), \begin{equation*} \langle \hat{a}, \hat{c} \rangle^2 + \langle \hat{b}, \hat{c} \rangle^2 \leq 1 + | \langle \hat{a}, \hat{b} \rangle| \end{equation*} Proof. Decompose \begin{align*} \hat{a} &= \cos \alpha \, \hat{c} + \sin \alpha \, \hat{e}_{1}, \hat{b} &= \cos \bet..

명색이 수학과 잡담을 위한 블로그인데 요즘 너무 잡담만 했으니, 땜빵용 허접 문제 몇개 올려봅니다. 첫 번째 건 몇년 전에 풀어서 이전 블로그에도 올린 내용이니까, 사실상 한 문제밖에 포스팅하지 않은 셈이네요. 으흐흐흐... Problem 1. Let \( k \) be a field of characteristic \( \neq 2 \), and \( A \) and \( B \) be two 2 by 2 matrices on \( k \). Then prove that \(A^{2} - 2AB + B^{2} = O\) implies \((A-B)^{2} = O\). Solution. Let \( C = A - B \). Then we have to show that \( C^{2} = O \). By..

Calculation 1. For a positive number \( a \), we have Calculation 2. Calculation 3. 관심있는 분들도 한 번 같이 풀어보시라고 올려봤습니다. 두 번째 계산은 풀이가 이미 적혀있지만, 뭐 어차피 일반화된 결과를 올릴 계획이라 상관 없습니다. p.s. 제가 폐인인 이유를 깨달았습니다. 전 컴퓨터 중독이었던 것입니다! 으아아악, 삼성장학금 빨리 신청해야 되는데 ㅇ

특정한 조건을 만족시키는 함수의 iteration에 대한 간단한 estimation입니다. Assumptions. Suppose for \( a \neq 0 \), there is \( m > 0 \) such that \[ f(x) = x \left( 1 - (a + o(1)) x^{m} \right) \] near \( x = 0 \). Also, suppose the sequence \( (x_k) \) given by the recurrence relation \[ x_{k+1} = f(x_k) \] is positive and vanishes as \( k \to \infty \). Calculation 1. By simple calculation, we have \[ \frac{1}{x_{k+..

거창한 계산은 아니고, 그냥 최근에 풀었던 적분 중 재미있었던 네 개를 계산해보려 합니다. 물론 첫 번째 계산에서 α ≥ 0 입니다. 지금은 시간이 없어서 그렇고, 이번주 주말 즈음에 올리지 않을까 싶네요. p.s. 이중에 스파이가 하나 숨어있습니다. 스파이... 라기보다는, 보기에 비해 어이없게 쉽게 계산되는 그런 놈이지요. 심심하신 분들은 한번 찾아보시는 것도 나쁘진 않겠네요.

Lemma 1. (Complex Gaussian Integral) Suppose $s \in \mathbb{C}$ satisfies $s \neq 0$ and $\Re (s) \geq 0$. Then \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-s x^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{s}}, \] where $\sqrt{z} = \exp(\frac{1}{2} \text{Log} z)$ denotes the principal square root of $z \in \mathbb{C} - (-\infty, 0)$. Pf. For $\Re (s) > 0$, the change of variable with $x = \sqrt{y}$ yields \[ \int_{-\infty}^{\..

Here we are going to present some conditions that enables us to interchange the order of integration which is often not covered by classic Fubini's Theorem or its variants. We assume readers are familiar with basic theory of Lebesgue-Stieltjes integration. (Refer to this article for the definition of terms that are used throughout this post) 1. Preliminaries We start with two definitions that sl..

http://math.arizona.edu/~savitt/GTM.html 몇 가지 간단한 질문에 답을 하면 자신의 성향과 가장 유사한 GTM 시리즈를 소개해주는 (준다고 주장하는) 사이트입니다. 저는 Joe Harris's Algebraic Geometry: A First Course 가 나왔네요. 이럴수가, 우리 과 같은 학번 중에서 저보다 더 대수기하랑은 거리가 먼 사람도 드문데... =_=;;

블로그의 정체를 막기 위해, 이번에는 계산이 아니라 그냥 아주 간단한 내용을 올려봅니다. 방법론이 조금 제 마음에 들어서 올려봤는데, 너무 허접한 거 올렸다고 욕하진 마시고 그냥 감상해주세요 -ㅁ- 이 자리에서는 힐베르트 행렬 \begin{equation*} H_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix} \end{equation*} 의 역행렬이 존재하고, 그..

비록 군대에 있는 몸이지만 마음만은 아직도 이공계를 사랑하고 있습니다 -ㅅ-v ... 그래서 여자친구가 없는 건가;; ㅇ

요즘 리만제타함수 관련 내용을 공부하다가 제 취미랑 맞닥뜨리는 부분을 만나서 예전에 갖고 있던 관심이 다시 환기되 되살아났습니다. 그래서 구글링을 하면서 좀 관련 내용을 뒤지고 있는데, 여기 몇 가지 건진 파일들을 좀 올려놓으려고 합니다. [PDF] A CENTURY OF TAUBERIAN THEORY david borwein 1 D. Borwein, Tauberian theorems concerning Laplace transforms and. Dirichlet series, Arch. Math. ... G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Tauberian theorems concerning power ... www.carma.newcastle.edu.au/~jb616/tauber..

드디어 1년을 넘게 끙끙 앓던 물건 을 증명해내는 데 성공했습니다. 올레~! 자세한 내용은 「오늘의 계산 12」 에서 참조하세요!

수학에서 공식이 전부는 아니지만, 기발한 아이디어로 얻어지거나 압도적인 힘을 때려박아 얻어진 공식들을 보면서 종종 느끼는 짜릿함은, 역시 수학에서 공식이라는 요소를 무시할 수 없구나 하는 생각을 지울 수 없게 합니다. 그리고 제 취미인 계산에 도움이 될 것도 같아서, 요즘 슬며시 살펴보고 있는 공식들을 하나 둘씩 모아보려고 합니다. § Polylogarithm related formulas Series-based definition of polylogarithm Recursive definition of polylogarithm Euler's reflection formula Landen's identity Pentagon identity (by Rogers) A formula for trilogarit..

The Feynman Problem Solving Algorithm 1 Write down the problem; 2 Think very hard; 3 Write down the answer. 정말 간결하면서도 강력한 알고리즘이군요. 지금까지 이런 걸 깨닫지 못했다니…. 그러고 보니 오늘부터 새학기이군요. 저는 일단 휴학하고 GRE 공부와 조화해석 공부에 힘을 쏟다가 적당한 시점에서 군대에 끌려갈 생각을 하고 있습니다. Antoni Zygmund, One of the greatest mathematian in 20th-century. 아, 이 방황하는 마음에 안정이 찾아와 깃들기를 바라며, 저는 오늘도 집에서 뒹굴거립니다. ……어?

하라는 시험공부는 안하고 망상만 하고 자고 뒹굴거리다가, 문득 떠오른 내용입니다. 이전에, '오늘의 계산 16'에서 한 가지 추측을 한 적이 있죠. 그 추측에 대한 힌트가 될 지도 모르는 몇 가지 이론적, 수치적인 관찰을 해봤습니다. [정의] (1) f∈L1(R)에 대해, f의 Fourier transform f^를 다음과 같이 정의합니다. (2) 양수 R에 대해, Dirichlet kernel DR을 다음과 같이 정의합시다. [정리] f가 L1(R)에 속하고 미분 가능하면, f와 DR의 convolution f＊DR이 f로 pointwise converge합니다. [정리] f가 L1(R)∩C(R)에 속하고, 어떤 ε>0 에 대하여 growth condition |f(x)| ≤ (1+|x|)-1-ε 을 ..

대수경 망쳤다! OTL ... 그것도 한 문제(2-1)는 겁먹고 손 안댔는데 가장 쉬운 문제였다니 ㅇ

필드메달리스트인 Stephen Smale는 대학원생이었던 1958년에 k-sphere의 immersion의 분류에 관한 논문을 쓰면서 부산물로 구 뒤집기(sphere eversion)가 가능하다는 사실을 발견했다. 일상적인 표현을 빌자면, 자기 자신을 관통하는 것은 허용하면서 구를 연속적으로 변형하되, 변형 도중에 어떠한 경우에도 뾰족한 주름, 즉 꺾임이 생기는 것은 허용하지 않는 방식으로 구를 변형하면, 구의 안과 밖을 뒤집을 수 있다는 것이다. 좀 더 상황을 잘 이해하기 위해, 우선 상상속의 물질을 하나 등장시키자. 이 물질로 이루어진 막은 잘 휘고, 마음대로 늘어났다 줄어들 수 있고, 심지어 자기 자신과 관통할 수도 있지만, 찢거나 뾰족하게 접는 것은 불가능하다. 이제 이 물질로 이루어진 구를 생각..

적당한 2차식 f(z) = z² + c 에서 계수 c를 단위원 위를 따라가면서 그려본 f의 줄리아 집합입니다. 아래는 보너스 ... 그냥 심심해요 ㅇ>-<

f : R→R 이 연속함수이고 E가 R의 countable dense subset이면, 정의역을 제한하여 얻은 함수 f|E 역시 E에서의 연속함수가 되죠. 그런데 어째서인지 무의식적으로 그 역도 성립한다고 믿고 있었습니다. 이런 어처구니없는 일이…

어떤 적분(특히, 0부터 ∞까지의 적분)이 주어졌을 때, 피적분함수를 적당히 두 함수의 곱으로 나누되 한쪽 함수는 어떤 함수의 라플라스 변환이 되도록 나눕니다. 그 다음에 그 함수를 라플라스 변환의 정의에 해당하는 적분으로 대체한 다음, 적분의 순서를 바꾸어 계산하는 테크닉입니다. 즉, f(x) = g(x)Lh(x) 로 나누어 (단, Lh는 h에 대한 라플라스 변환), 다음과 같이 적분 순서를 바꾸는 것입니다. 문제는, 어떤 조건이 주어져야 위 식이 성립하느냐 하는 것입니다. 이 계산은 보다시피 해석학에서 항상 정당화를 요구받는 '두 극한 연산자의 교환'의 특별한 케이스에 해당함을 알 수 있습니다. 최근에 행한 일련의 계산을 통해서, 매우 일반적인 조건에 대해 위와 같은 적분의 교환이 성립함을 증명했습니..