힐베르트 행렬의 역행렬이 존재하고, 각 원소는 정수다!

블로그의 정체를 막기 위해, 이번에는 계산이 아니라 그냥 아주 간단한 내용을 올려봅니다. 방법론이 조금 제 마음에 들어서 올려봤는데, 너무 허접한 거 올렸다고 욕하진 마시고 그냥 감상해주세요 -ㅁ-

이 자리에서는 힐베르트 행렬

\begin{equation*} H_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix} \end{equation*}

의 역행렬이 존재하고, 그 역행렬의 모든 원소가 정수임을 보이겠습니다. 여기서 보일 방법은 적분을 이용한 방법입니다.

Lemma. $n$차 다항식 $P_n(x)$를 \begin{equation*} P_n (x) \ = \ \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[ x^n (1-x)^n\right] \end{equation*} 와 같이 정의하면, $\{ P_n(x) | n = 0, 1, 2, \cdots \}$ 는 모두 정수계수 다항식

\begin{equation*} P_n (x) \ = \ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} x^k \end{equation*} 이며, 내적 \begin{equation*} \left( f, g \right) \ = \ \int_{0}^{1} f g \, dx \end{equation*} 에 대해 orthogonal family가 된다. 구체적으로, 다음 식이 성립한다. \begin{equation*} \left( P_m, P_n \right) \ = \ \frac{\delta_{mn}}{2n+1} \end{equation*}

위 보조정리를 증명하는 것은 어렵지 않습니다. 구체적으로, 일반성을 잃지 않고 $m \geq n$ 이라고 가정한 다음 $P_m$ 쪽은 계속 미분해주고 $P_n$ 쪽은 계속 적분해주면서 부분적분을 $n$번쯤 갈기면 원하는 결과를 얻습니다.

이제 위를 이용하여 원하는 결과를 증명해보겠습니다. $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{X} = \mathbf{X}(x)$와 $\mathbf{P} = \mathbf{P}(x)$를 각각

\begin{equation*} \mathbf{X} \ = \ \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ \vdots \\ x^{n-1} \end{pmatrix} , \quad \mathbf{P} \ = \ \begin{pmatrix} P_0 (x) \\ P_1 (x) \\ \vdots \\ P_{n-1} (x) \end{pmatrix} \end{equation*}

와 같이 둡시다. 그러면, 행렬의 적분을 각 행렬의 원소를 적분해주는 것으로 정의할 때,

\begin{equation*} H_n \ = \ \int_{0}^{1} \mathrm{X} \mathrm{X}^{T} \, dx \end{equation*}

가 성립합니다. 그러나 $P_n(x)$가 $n$차 정수계수 다항식이라는 사실로부터, $\mathbf{P} = C\mathbf{X}$ 를 만족하는 행렬 $C$는 lower triangular matrix이고 모든 계수가 정수입니다. 또한 $C$의 대각성분인 $(k,k)$-성분은 $P_{k-1}(x)$의 최고차항의 계수가 되며, 특별히 $0$이 아닙니다. triangular matrix의 determinant는 모든 대각성분의 곱이므로, $C$는 invertible입니다. 그런데

\begin{align*} H_n & = \int_{0}^{1} \mathbf{X} \mathbf{X}^{T} \, dx \\ & = C^{-1} \int_{0}^{1} \mathbf{P} \mathbf{P}^{T} \, dx \left( C^{-1} \right)^{T} \\ & = C^{-1} \left( \left( P_{i-1} , P_{j-1} \right) \right) \left( C^{-1} \right)^{T} \\ & = C^{-1} \left( \frac{\delta_{ij}}{2i-1} \right) \left( C^{-1} \right)^{T} \\ & = C^{-1} \text{diag} \left( \frac{1}{2i-1} \right) \left( C^{-1} \right)^{T}. \end{align*}

이고, 맨 마지막 항의 각 행렬은 모두 [계수가 정수인 행렬]의 역행렬들의 곱으로 이루어져 있습니다. 따라서 $H_n$은 invertible하고 그 역행렬은 구체적으로

\begin{equation*} H_n^{-1} \ = \ C^{T} \text{diag}(2i-1) C \end{equation*}

로 주어집니다. 물론 위 식으로부터 행렬의 구체적인 형태도 계산해낼 수 있습니다.