Sphere eversion

   필드메달리스트인 Stephen Smale는 대학원생이었던 1958년에 k-sphere의 immersion의 분류에 관한 논문을 쓰면서 부산물로 구 뒤집기(sphere eversion)가 가능하다는 사실을 발견했다. 일상적인 표현을 빌자면, 자기 자신을 관통하는 것은 허용하면서 구를 연속적으로 변형하되, 변형 도중에 어떠한 경우에도 뾰족한 주름, 즉 꺾임이 생기는 것은 허용하지 않는 방식으로 구를 변형하면, 구의 안과 밖을 뒤집을 수 있다는 것이다.

   좀 더 상황을 잘 이해하기 위해, 우선 상상속의 물질을 하나 등장시키자. 이 물질로 이루어진 막은 잘 휘고, 마음대로 늘어났다 줄어들 수 있고, 심지어 자기 자신과 관통할 수도 있지만, 찢거나 뾰족하게 접는 것은 불가능하다. 이제 이 물질로 이루어진 구를 생각해보자. 그냥 평범하게 생각해보면 구를 납작하게 누른 후 양 면을 서로 관통시켜 잡아당기면 될 것 같지만, 적도 부분이 둥그렇게 말려 결국 마지막에는 뾰족하게 접혀버리기 때문에 안된다.

[그냥 양 면을 관통시키면, 적도 부분이 말려들어가서 결국 접혀버린다!]

이런 상황에서 이 구의 안과 밖을 뒤집는 것이 가능하다는 것이 Smale이 증명한 내용인 것이다. 물론 그 증명은 비구성적이고 굉장히 기교적이어서, 논문이 발표된 뒤에도 몇 년 동안은 논란이 있었다.

   그러던 중 1961년 Arnold Shapiro가 처음으로 구체적인 eversion을 찾아냈다. 하지만 그는 그것을 발표하지 않았다. 1966년, Phillips는 단지 구체적인 방법을 찾았다는 소식만을 접하고서 스스로 그 방법을 찾으려고 노력한 끝에 독자적인 방법을 찾아내는 데 성공했다. Morin 또한 새로운 eversion을 찾아냈는데, 그의 eversion은 변환 과정 전체를 정확하게 나타내는 대수적인 방정식을 주었다.

   구의 eversion을 이용하면 토러스와 같은 기타 여러가지 구체적인 도형들에 대한 eversion 또한 실제로 만들어낼 수 있다. 아래 링크를 통해 구의 eversion을 시각적으로 관찰할 수 있는 프로그램을 다운로드할 수 있다.



[외부 링크]
Sphere eversion에 대한 간략한 설명 - 위키피디아
Sphere eversion을 시각적으로 보여주는 프로그램
Sphere eversion에 관한 내용을 담은 한글 페이지
Sphere eversion을 자세하게 설명해 둔 21분짜리 동영상

p.s. 아, 이런 쇼킹한 사실이... 프로그램 돌려보면서 연신 감탄중입니다. -_-乃