제가 자주 쓰는 계산 테크닉 1

어떤 적분(특히, 0부터 ∞까지의 적분)이 주어졌을 때, 피적분함수를 적당히 두 함수의 곱으로 나누되 한쪽 함수는 어떤 함수의 라플라스 변환이 되도록 나눕니다. 그 다음에 그 함수를 라플라스 변환의 정의에 해당하는 적분으로 대체한 다음, 적분의 순서를 바꾸어 계산하는 테크닉입니다.

즉, f(x) = g(x)Lh(x) 로 나누어 (단, Lh는 h에 대한 라플라스 변환), 다음과 같이 적분 순서를 바꾸는 것입니다.

문제는, 어떤 조건이 주어져야 위 식이 성립하느냐 하는 것입니다. 이 계산은 보다시피 해석학에서 항상 정당화를 요구받는 '두 극한 연산자의 교환'의 특별한 케이스에 해당함을 알 수 있습니다. 최근에 행한 일련의 계산을 통해서, 매우 일반적인 조건에 대해 위와 같은 적분의 교환이 성립함을 증명했습니다. 우선 특이적분을 정의합시다.

1 Definition   Suppose f ∈ L_loc(0, ∞) and

exists. Then f is said to be improperly integrable on (0, ∞) and we call this limit the improper integral of f on (0, ∞), denoted by

그러면 다음과 같은 정리가 성립함을 증명할 수 있습니다.

2 Theorem   Suppose f ∈ L_loc(0, ∞) and f is improperly integrable on (0, ∞). Then the following formulas hold.

Summability_Methods.pdf

위 식을 보면, 푸비니 정리보다 상당히 약한 조건 하에서도 적분이 교환되는 것을 확인할 수 있습니다. 좀 더 일반적인 라플라스 변환에 대해서도 저런 조작이 가능한가에 대해서는 아직 살펴보는 중입니다. 위의 식들은 특별히 제가 자주 쓰는 공식들이라서 우선적으로 보인 것이죠. -3-

아래는 위 테크닉을 이용한 간단한(?) 계산의 예입니다.

3 Examples

마찬가지로, 적분 대신 무한급수에서도 같은 이야기를 할 수 있습니다. 단 무한급수는 improper ℓ¹에 해당하는 개념이 그낭 일반적인 convergence의 정의이니, 별 다른 정의를 소개하지 않고도 곧바로 다음과 같은 사실을 주장할 수 있습니다. (그리고 실제로 위의 정리와 거의 같은 방법으로 증명됩니다.)

4 Theorem   If ∑ a_n exists, then the follow identity holds.

하지만 무한급수를 적분으로 변환하는 방법은 이것 말고도 여러가지가 있습니다. 예를 들어서, 다음 사실 역시 항상 성립합니다.

5 Theorem   If ∑ a_n exists, then the follow identity holds.

invalid-file

위의 두 정리 역시 적분과 무한급수라는 두 극한 연산자의 순서를 바꾸는 일반적인 문제의 특별한 케이스에 해당합니다. 적분해서 1을 주는 적당한 함수들의 목록을 생각한 다음에, 무한급수의 각 항에 이 적분들을 곱하고, 그 다음 적분과 무한급수의 순서를 통째로 바꿔버리는 테크닉이죠. 이러한 조작이 항상 가능하진 않을 수 있지만, 적어도 위에서 소개한 함수들에 대해서는 가능하다는 것입니다.