블로그가 심심하니 그냥 간단한 계산이나 하나…

p-adic number에 익숙하다면 그냥 몇 줄 끄적이면 바로 따라나오는 정리인데, 오랜만에 다시 보니깐 그냥 싱숭생숭해서 다시 적어봅니다.

당분간은 유학 준비 - 특히 회화 준비 - 로 인해 수학 공부는 좀 쉴 것 같으니, 이렇게 간단한 내용들이나 스크랩해서 정리해볼까 하네요.

그나저나 역시 저는 뭘 해도 해석학적인 계산으로 때려박아야 직성이 풀리나봅니다. =ㅁ=

Wolstenholme's Theorem. Let $p > 3$ be a prime number. If we write \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{r}{q} \end{align*} in lowest term, then $r \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^2)$.

Proof. We have

\begin{align*} 2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} &= \sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{1}{k} + \frac{1}{p-k} \right) = -p \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2(1-k^{-1}p)}. \end{align*}

But in $\Bbb{Q}_p$, it follows that for $1 \leq k \leq p-1$,

\begin{align*} \frac{1}{1-k^{-1}p} &= 1 + O(p). \end{align*} Thus we have \begin{align*} 2\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k} &= -p \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} + O(p^2) \\ &= -p \sum_{k=1}^{p-1} k^2 + O(p^2) \\ &= -\frac{p^2(p-1)(2p-1)}{6} + O(p^2) = O(p^2), \end{align*} proving the claim.

This proposition entails the following corollary.

Corollary. Let $p > 3$ be a prime number. Then \begin{align*} \binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \quad (\mathrm{mod} \ p^3). \end{align*}

Proof. It follows from

\begin{align*} \binom{2p-1}{p-1} &= \prod_{k=1}^{p-1} \left( 1 + \frac{p}{k} \right) = 1 + p \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} + p^2 \sum_{k < l}^{p-1} \frac{1}{kl} + O(p^3) \\ &= 1 + p \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} + \frac{p^2}{2} \left[ \left( \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \right)^{2} - \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \right] + O(p^3) \\ &= 1 + O(p^3) \end{align*} by both the statement and the intermediate proof of the previous theorem.