잡담을 위한 소박한 장소

The purpose of this posting is to encourage this blog not to suffer from stagnation, though I'm not sure whether it will work or not. Here, we introduce a very easy calculation, though in a slightly unfamiliar fashion. \begin{align*} \int\sqrt{\tan x}\;dx &=\int\frac{2t^2}{t^4+1}\;dt\qquad(t=\sqrt{\tan x})\\ &=\int\frac{2}{t^2+t^{-2}}\;dt\\ &=\int\left(\frac{1-t^{-2}}{\left(t+t^{-1}\right)^2-2}+..

확률론적인 방법으로 1-D heat equation을 푸는 방법을 간단하게 Mathematica로 구현해보았습니다. 아래의 그래프 는 $t = 0$ 일 때 $[-1, 1]$에서 $1$의 값을 갖고 나머지 지점에서는 모두 $0$인 초기조건이 주어졌을 때, \begin{equation}\label{heat_eq} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\Delta u \end{equation} 를 Monte-Carlo method로 계산하여 $(t, x) \in [0, 1] \times [-2, 2]$ 영역에서 밀도그래프로 그린 것입니다. (왜 굳이 \eqref{heat_eq}에서 $\Delta$ 앞에 $\frac{1}{2}$를 붙였냐면, Brownian motion의 ..

Today's integral is not hard to solve, but I think it is worth it relish the symmetry innate in it. Problem. Prove that for $0 1 \) and \( \beta = \frac{1}{2}(\alpha - \alpha^{-1}) \). Then by..

오늘의 계산 시리즈로 여러분들을 다시 찾아뵙는 것은 정말 오랜만이네요. 거의 반 년 가까이 계산을 놓고 있었는데, 오늘 좋은 떡밥을 하나 줏어서 열심히 머리굴린 덕에 계산해낼 수 있었습니다. 한 3시간 정도 매달린 것 같네요. 아, 어지러워... 진리의 미쿠로 다시 회복하고 확률미방이나 공부해야겠네요. Problem. Find the value of the integral \begin{equation*} \int_{0}^{1} \frac{\log \log (1/x)}{1+x^2} \; dx. \end{equation*} Solution. By the substitution \( x = e^{-t} \), we find that \begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{(\log (1/..

이런 거라도 올려야 블로그가 정체되지 않겠지요? 으헣헣 ;ㅅ; Tonelli's theorem enables us to exchange the order of integration and summation of a sequence of nonnegative functions. Thus for \( 0 < r < 1 \), \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{r^n}{n!} \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \; dx & = \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(rx)^n}{n!} e^{-x} \; dx = \int_{0}^{\infty} e^{-(1 - r)x} \; dx \\ & = \frac{1}{1 -..

고딩때 독서실에서 하라는 시험공부는 안 하고 노트에 끄적였던 내용이 문득 떠올라서, 조금 다듬어서 올려봅니다. Definition 1.네 행렬 \(U\), \(I\), \(J\), \(K\)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} 그러면 다음과 같은 관찰을 할 수 있습니다. ..

(2011 SEEMOUS Mathematical Competition, Problem 3) Show that for any three unit vectors \( \hat{a}\), \(\hat{b}\) and \(\hat{c}\), \begin{equation*} \langle \hat{a}, \hat{c} \rangle^2 + \langle \hat{b}, \hat{c} \rangle^2 \leq 1 + | \langle \hat{a}, \hat{b} \rangle| \end{equation*} Proof. Decompose \begin{align*} \hat{a} &= \cos \alpha \, \hat{c} + \sin \alpha \, \hat{e}_{1}, \hat{b} &= \cos \bet..

명색이 수학과 잡담을 위한 블로그인데 요즘 너무 잡담만 했으니, 땜빵용 허접 문제 몇개 올려봅니다. 첫 번째 건 몇년 전에 풀어서 이전 블로그에도 올린 내용이니까, 사실상 한 문제밖에 포스팅하지 않은 셈이네요. 으흐흐흐... Problem 1. Let \( k \) be a field of characteristic \( \neq 2 \), and \( A \) and \( B \) be two 2 by 2 matrices on \( k \). Then prove that \(A^{2} - 2AB + B^{2} = O\) implies \((A-B)^{2} = O\). Solution. Let \( C = A - B \). Then we have to show that \( C^{2} = O \). By..

Yeah, it's cool to see how he repairs a door. *̡͌l̡*̡̡ ̴̡ı̴̴̡ ̡̡͡|̲̲̲͡͡͡ ̲▫̲͡ ̲̲̲͡͡π̲̲͡͡ ̲̲͡▫̲̲͡͡ ̲|̡̡̡ ̡ ̴̡ı̴̡̡ *̡͌l̡* 살어리랏다~

Calculation 1. For a positive number \( a \), we have Calculation 2. Calculation 3. 관심있는 분들도 한 번 같이 풀어보시라고 올려봤습니다. 두 번째 계산은 풀이가 이미 적혀있지만, 뭐 어차피 일반화된 결과를 올릴 계획이라 상관 없습니다. p.s. 제가 폐인인 이유를 깨달았습니다. 전 컴퓨터 중독이었던 것입니다! 으아아악, 삼성장학금 빨리 신청해야 되는데 ㅇ

특정한 조건을 만족시키는 함수의 iteration에 대한 간단한 estimation입니다. Assumptions. Suppose for \( a \neq 0 \), there is \( m > 0 \) such that \[ f(x) = x \left( 1 - (a + o(1)) x^{m} \right) \] near \( x = 0 \). Also, suppose the sequence \( (x_k) \) given by the recurrence relation \[ x_{k+1} = f(x_k) \] is positive and vanishes as \( k \to \infty \). Calculation 1. By simple calculation, we have \[ \frac{1}{x_{k+..

아래는 뽀나스

Here I post my solutions to the announced four integrals. I tacitly assumed some formulas to be granted, so to reduce unnecessary calculations that are attainable in regular courses in analysis. One exception to this convention is the detailed proofs for the identity \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + \beta^2} \; dx = \frac{\pi}{2\beta} e^{-\beta} \end{equation*} for $\beta ..

거창한 계산은 아니고, 그냥 최근에 풀었던 적분 중 재미있었던 네 개를 계산해보려 합니다. 물론 첫 번째 계산에서 α ≥ 0 입니다. 지금은 시간이 없어서 그렇고, 이번주 주말 즈음에 올리지 않을까 싶네요. p.s. 이중에 스파이가 하나 숨어있습니다. 스파이... 라기보다는, 보기에 비해 어이없게 쉽게 계산되는 그런 놈이지요. 심심하신 분들은 한번 찾아보시는 것도 나쁘진 않겠네요.

Problem. Show the identity \begin{equation} \label{pb:wts} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + e^{- \pi n}\right) = 2^{-\frac{1}{8}} e^{\frac{\pi}{24}}. \end{equation} Proof. This is related to the famous Dedekind eta function $\eta(s)$, which is defined by \begin{equation*} \eta(\tau) = e^{\frac{\pi i \tau}{12}} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - e^{2\pi i n \tau} \right), \end{equation*} although we d..

오사카에서의 일정을 마무리하고 아침 일찍 호텔을 나왔습니다. 짐이 많이 무거웠기 때문에 정말 땀을 뻘뻘 흘리며 이동해야 했지요. 직접 지하철과 전철을 옮겨다니며 고생을 좀 한 끝에, 교토역에 도착했습니다. 호텔(교토 신한큐 호텔)은 JR 교토역 바로 맞은편에 위치해있었는데, 교토역 앞은 일종의 버스터미널처럼 시내외를 도는 수많은 버스들이 거치는 지점이기 때문에 항상 붐비고 또 이동에도 용이한 구조입니다. 그래서 호텔은 잘 골랐다는 생각이 들었지요. 하지만 교토에서의 첫날 오후는 낮잠으로 모두 날려버렸습니다. 날씨도 흐리고, 20kg 가까이 되는 짐을 들고 오사카에서 쿄토까지 이동을 했으니 지치기도 했었거든요. 대신 저녁 즈음에는 호텔 바로 뒤에 있던 요도바시 전자상가에서 아이쇼핑을 조금 했습니다. 노트북..

그냥 짧게 몇 마디 적자면... 꽤 좋은 구경 하고 왔습니다. 금각사 캐간지 에서 조용한 사찰까지;; 그리고 풍성한 지름과 그 후유증까지... 그래도 순간순간이 즐거워서, 돌아오는 길에 아쉬움을 느꼈습니다. 그건 그렇고, 이번 여행에서 지름의 결과물입니다. 물론 선물로 사온 술과 음식 등은 당연히 사진에 들어있지 않습니다. 목록으로 소개하자면... 라노벨 11권 : (하단 좌측부터 순서대로) 관능소설을 쓰는 여자는 싫습니까? (官能小を書く女の子はキライですか？) 1권 몽마[서큐버스] 삿쨩, 실례합니다. (夢魔【サキュバス】さっちゃん、お邪魔します。) 1권 변태왕자와 웃지 않는 고양이. (変態王子と笑わない猫。) 1권 마왕인 그 아가씨와 마을사람 A (魔王なあの娘と村人A) 1권 연적(사랑의 경쟁자)은 아가씨? (..

오늘은 11시 반 쯤에 어슬렁 어슬렁 호텔에서 기어나왔습니다. 어디를 갈까 고민하다가 도톤보리 메인 길목 말고 구석의 조용한 길목을 들어갔는데, 사람들이 줄을 서서 기다리는 돈카츠집이 보이길래 저도 덩달아 같이 줄을 섰습니다. 제 차례가 되어서 가게에 들어간 저는 우선 내부를 살펴보았습니다. 내부는 테이블이 따로 있는 게 아니라, 구조만 놓고 비유하자면 바에서 바텐더와 손님이 마주앉아보는 바로 그 방식으로 되어있습니다. 좁고 길다란 가게의 중간을 하나의 긴 테이블이 가로지르며, 그 테이블을 기준으로 한쪽은 조리를 하는 곳이고, 다른 한 쪽은 테이블로 되어 있어 고정식 의자가 가지런히 붙어있습니다. 그 뒤로 약간의 여유 공간이 남아 그곳을 통로처럼 해서 오가는 구조이지요. 이런 구조는 일본에선 어렵지 않게..

뭔가, 한 게 별거 없네요. 1. 비행기를 탐. 아래는 비행기에서 찍은 사진입니다. 구름에 드리워진 구름의 그림자가 인상적이었지만, 사실 이거 찍고 바로 졸았다는 뒷이야기는 비밀입니다. 그 후 도착해서 호텔까지 이동하는 동안 Scientific American읽거나, 전공서적을 공부하(는 흉내를 내)면서 주변에 앉은 고등학생들에게 압박감을 심어주었습니다. 2. 라면을 먹으러 갔습니다. 도톤보리에 하나마루켄이라는 유명한 라면집이 있는데, 적당히 라면으로 여행을 시작할까 해서 저곳을 골랐습니다. (사진이 없는 이유는... 귀찮아서 사진기 안 들고 갔습니다.) 3. 내일 지름원정의 정찰격으로 해서 멜론북스와 토라노아나를 살살 산책하고 왔습니다. 산책하면서 몇 권 줏어오긴 했지만, 이 정도는 내일 지를 예정에 ..