잡담을 위한 소박한 장소

2022/11/06 에 포맷을 다듬고 수학 부분의 내용을 싹 갈아엎었습니다. 이번 포스팅 시리즈에서는 스도쿠의 다양한 전략들을 살펴보고 수학적으로 분석해보고자 합니다. 설명의 단계를 나누어, 일반인들을 위한 부분과 수학적인 부분을 최대한 분리하고 단계를 나누려고 노력하였습니다. 그리고 많은 예제도 소개할 예정입니다. 1. 스도쿠란? 스도쿠(数独; Sudoku)는 9×9 칸의 격자에 1 부터 9 까지의 숫자를 채워넣는 숫자 퍼즐 게임입니다. 특히 격자가 아래와 같이 3×3 짜리 상자들로 다시 나누어져 있어, 각 행, 열 그리고 상자마다 1 부터 9 까지의 숫자를 단 한 번만 들어가도록 채우는 게임입니다. 게임 자체가 등장한 지는 역사적으로 꽤 오래 되었지만, 결정적으로 1986년에 니코리라는 일본 퍼즐 게..

Here are chosen ones from my 50+ε calculations from the Today's Calculation archive, which are polished and supplemented. Any feedback is greatly welcomed. Table of Contents Preliminary Some materials on analysis Mathematical Constants Riemann Zeta function Gamma function and Polygamma functions Beta function Polylogarithms and related functions Today’s Calculation Derivation of $\zeta(2n)$ An i..

Enjoy this calculation and have a good day! Problem. For $\alpha > 0$, examine the following limit \begin{equation}\label{eqn:wts} \lim_{n\to\infty} e^{-\alpha\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} 2^{-n-k} \binom{n-1+k}{k} \sum_{m=0}^{n-1-k}\frac{(\alpha\sqrt{n})^m}{m!}. \end{equation} Solution. Let $A_n$ denote the formula inside the limit \eqref{eqn:wts}. By noting that the double summation is taken for ..

Today I want to deal with a problem which does not lie in analysis. It would be easy for those who are adapted to algebra, but for those with algebra trauma like me, it was rather a challenge. Problem. Let $m$ be an integer and $(u_n)$ be a sequence defined by \begin{equation}\label{eqn:recur} u_0 = 1, \quad u_1 = m \quad \text{and} \quad u_{n+2} = mu_{n+1} + u_n. \end{equation} Prove that for a..

Recently I was astonished by the following problem. Question.Let $f$ be a continuous function such that \begin{equation}\label{eqn:cond} \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \; dx = 0 \end{equation} for all $n = 0, 1, 2, \cdots$. Then is $f = 0$ everywhere? Answer. It might seem at the first glance that this is true. Surprisingly, however, this is not true. Let $$ g(x) = \exp\left(-x^2-\frac{1}{x^2}..

Problem 1. Evaluate the following integral.[1] \begin{equation}\label{prob:wts} \int_{0}^{\infty} \frac{u \log(a^2+u^2)}{e^{2\pi u} - 1} \; du \end{equation} Proof. Let $I(a)$ denote the given integral. Then we have \begin{align*}I(0) & = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{u \log u}{e^{2\pi u} - 1} \; du \\ & = \frac{1}{2\pi^2} \int_{0}^{\infty} \frac{x (\log x - \log (2\pi))}{e^{x} - 1} \; dx \qquad (x ..

쉬운 것도 어렵게 하라! \begin{align*} & \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}\;dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\cos x\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(1+x^2)t}\;dt\right)dx\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\cos x\,e^{-tx^2}\;dx\right)dt\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx^2+ix}\;dx\right)dt\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-t-\frac{1}{4t}}\left(\int_{-\infty}^{\inf..

Braid Level Editor를 이용하는 방법을 좀 더 제대로 익혀서, 레벨을 이리저리 바꿔가며 놀고 있습니다. 예를 들어서 위처럼 시간이 멈추는 블랙홀을 모티브로 해서 맵을 조작해본다든가 말이지요. 정말 연구하면 연구해볼수록 재미있는 요소들이 넘쳐나는 희대의 명작입니다. 레벨 에디터에 대한 아주 간단한 설명은 제 블로그를 뒤져보시면 나옵니다. 그리고 옛날과 달리 요즘은 Mod를 쉽게 만들 수 있는 프로그램도 나왔더군요. 아주 잘 사용하고 있습니다. 자세한 내용은 링크(Braid mod - Steam User's Forums)에서 확인하세요.

7/9 (월) 일본여행 그 다섯째날 : 나고야 쉬어가기이날은 나고야(名古屋)에서 잠시 쉬어가기로 했습니다. 하지만 우선은 멘붕의 구죠하치만에서 아침이 시작됩니다.다행히 밥은 계속 맛있었습니다. 오른쪽 위의 치킨 스테이크같은 반찬도 맛있었고, 가운데의 생선 소금구이(지느러미에 발라진 게 모두 소금입니다)는 알이 가득 차있어서 훌륭했습니다. 오른쪽의 가지 요리도 제가 평소에 가지를 싫어하는 데 비해서 꽤나 맛있게 먹었습니다.밥을 다 먹고 원래는 노히버스(濃飛バス)[1]를 예약해서 가려고 했는데, 예약을 할 수 없는 시간이었습니다. 그래서 할 수 없이 직접 가서 타기로 하고, 다시 민박집에 차를 태워달라고 부탁했습니다. 그런데 태워주신 할아버지께서 잘못된 곳에 내려주시고는 쌩 가버리시고, 설상가상으로 탑승 위..

Problem. Prove that[1] \begin{equation}\label{prob:wts} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{x^2 + \log^2(2\cos x)} \; dx = \frac{\pi}{8}\left( 1 - \gamma + \log(2\pi) \right). \end{equation} Proof. Here I refer to the following identity \begin{equation}\label{eq:01} \binom{\alpha}{\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(1 + e^{i\theta}\right)^{\alpha} e^{-i\omega \theta} \; d\theta, \en..

Problem. Find the limit \begin{equation}\label{prob:lim} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \prod_{k=1}^{n} \cos (kx)}{x^2} \; dx. \end{equation} To find the value of \eqref{prob:lim}, we need some preliminaries. Lemma 1. For any $\alpha \in \mathbb{R}$, we have \begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos (\alpha x)}{x^2} \; dx = \pi |\alpha|. \end..

아, 점점 쓰기 귀찮아지네요. 크크크 7/8 (일) 일본여행 그 넷째날 : 구죠하치만의 악몽이날은 오전엔 시라카와고에서 못다 한 탐험(?)을 마저 끝내고, 구죠하치만(郡上八幡)으로 이동하기로 했습니다. 구조하치만은 일본 3대 봉오도리(盆踊り)중 하나인 구죠오도리가 전해지는 곳으로, 때를 맞춰 오면 매우 붐비는 곳이기도 합니다. 그리고 전파녀와 청춘남의 성지….이날은 아침 8시 즈음에 일어났습니다. 원래 아침은 7시 반에 먹어야 하는데, 주인집 노부부께서 친절하게도 저희가 일어날 때까지 기다려주셨습니다. 아침 역시 양과 맛 모두 발군이었습니다. 특히 아침에도 저렇게 즉석에서 익혀서 먹는 요리가 나왔는데, 큰 낙엽 위에 버섯 등을 얹고 익혀 먹는 요리였습니다. 잎의 향이 깊이 베어나와서 매우 인상적이었습니다..

여행기를 쓴다는 게 이렇게 힘들 줄은 몰랐습니다. 흐흐흐흐…. 7/7 (토) - 일본여행 그 셋째날 : 시라카와고이날 여행한 곳은 시라카와고(白川郷)라는 마을로, 1995년 유네스코 세계 문화유산에 지정된 곳입니다.[3] 높은 산으로 둘러쌓인 지역에서 오랫동안 생활해오면서, 다른 곳에서는 볼 수 없는 이곳만의 특유의 건축양식인 갓쇼즈쿠리(合掌造り) 형식을 발전시켜왔습니다. 높고 경사가 급한 지붕에 짚을 아주 두껍게 이는 이 방식은 겨울에 많은 눈이 내리는 이 지역에서 건물이 눈에 의해 무너지는 것을 방지하는 역할을 합니다. 이러한 특징으로 인해 세계 문화유산으로 지정되었지요.이날 아침은 원래 노히버스(濃飛バス)[1]를 타고 시라카와고까지 이동할 계획이었습니다. 하지만 마침 같은 시기에 렌트카로 일본을 여..

7/6 (금) - 일본여행 그 둘째날 : 카나자와이날은 아침 일찍 카나자와(金沢)로 이동하기 위해 5시 즈음에 기상했습니다. 아침은 어제 저녁 편의점에서 사둔 도시락으로 때웠습니다. 일본은 역시 홋카이도가 있어서 그런지 우유 제품이 아주 훌륭했습니다. 왼쪽에 보이는 우유 팩은 코이와이 커피우유(小岩井コーヒー)인데, 500ml라서 아주 든든하게 마실 수 있습니다. 커피우유를 좋아하는 제가 일본에 여행가면 자주 마시는 녀석인지라 한 번 찍어보았습니다.어쨋든 허둥지둥 준비를 마치고 6시 즈음에 호텔을 나섰습니다. 사진에는 안 찍혀 있지만, 이 호텔은 24시간 프론트가 열려있는 것이 아니라서 이른 아침에는 대신 머메이드 모양 카드키 회수기를 프론트에 갖다놓습니다. 머메이드 입에 카드키를 쑤욱 집어넣고 호텔을 나..

7/5 (목) - 일본여행 그 첫째날드디어 여행의 시작이 다가왔습니다. 이 날은 09:10 발 비행기를 타기 위하여 아침 5시에 일어났습니다. 마지막으로 짐을 점검하고 간단하게 씻은 뒤, 잠실 롯데호텔로 이동하였습니다. 바로 이곳에서 출발하는 리무진 버스를 타기 위해서이지요. 도착하니 눈 앞에서 리무진 버스를 놓쳐서, 하는 수 없이 15분을 더 기다려 다음 차를 탔습니다.1시간 쯤 달려 인천공항에 도착하니 벌써 7시가 훌쩍 넘어있었습니다. 친구와 합류하여 티켓을 끊기 위해 줄을 섰는데, 이른 아침인데도 불구하고 많은 사람들이 기다리고 있었습니다. 간간히 주변에서 일어로 대화하는 모습도 보여서 정말로 여행이 시작되었다는 것을 실감할 수 있었습니다. 티케팅을 마치고 모든 출국 절차를 완료한 후, 간단하게 게..

일단 새로운 입자가 발견된 건 확실하고, 이 입자가 힉스 입자라는 데는 거의 이견이 없는 것 같네요. 어서어서 정밀한 분석이 나오기를 기다려야겠습니다.아래는 CERN Press Release에 오늘 자로 게제된 기사를 제 입맛대로 엉터리 번역한 내용입니다. CERN 실험에서 오랫동안 찾아 헤맸던 힉스 보존(Higgs boson)에 상응하는 입자 관측되다원문 뉴스 : CERN Press Release 2012년 7월 4일, 제네바.올해의 주요 입자물리학 학회인 멜버른 ICHEP2012의 서막을 여는 오늘 CERN1에의 세미나에서, ATLAS와 CMS 실험진은 오랫동안 찾아 헤매던 힉스 입자를 향한 연구의 최신 초기 결과를 발표하였다. 두 실험 모두 질량이 125-126 GeV 범위에 속하는 새로운 입자를 ..

역시 진리의 미쿠는 용량이 너무 크네요. 그런 의미에서 잡담 하나. 지난주와 이번주 해서 2주동안 SPDE 여름학교를 다녀왔습니다. 역시 2주는 빡세네요. 아래는 그냥 어제 삼십 분 정도 끄적인 계산. $$\lim_{y\to\infty}\left( \log^2 y - 2\int_{0}^{y} \frac{\log x}{\sqrt{x^2+1}}\;dx \right) = \frac{\pi^2}{6} + \log^2 2 .$$

Problem. Show that \begin{equation}\label{prob:wts} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos ax}{x} \, \frac{\sinh\beta x}{\cosh\gamma x} \, dx = \frac{1}{2} \, \log \left( \frac{\cosh\frac{a\pi}{2\gamma}+\sin\frac{\beta\pi}{2\gamma}}{\cosh\frac{a\pi}{2\gamma}-\sin\frac{\beta\pi}{2\gamma}} \right) \end{equation} for $|\Re \beta| < \Re \gamma$. (Original Problem by Doe John, in his posting [1].) To prove \eq..

1. 문과/이과 구별법 해설 초등학생 40 - 32 = 8 을 먼저 계산하고, 다음에 ÷2 를 계산하여 답이 4가 나왔습니다. 그리고 초등학생 특유의 씩씩함으로 자신있게 "4!"라고 외쳤습니다. 문과 뺄셈보다 나눗셈을 먼저 계산해야 하므로, 32÷2 = 16 을 먼저 계산하면, 답이 24가 나옵니다. 그래서 틀렸다고 단정했습니다. 이과 4! = 24 이므로, 맞습니다! 2. 세 논리학자가 바에 가면... 해설 첫 번째 사람 자신이 NO이면, NO라고 대답해야 합니다. 그런데 자신이 YES이고, 나머지 두 사람의 의중을 모르므로 '모른다'고 답했습니다. 두 번째 사람 자신이 NO이면 역시 NO라고 대답해야 합니다. 그런데 자신이 YES이고, 나머지 한 사람의 의중을 모르므로 '모른다'고 답했습니다. 세 번..

으아니, 그저 굽신굽신! 비록 강연의 처음 5분밖에 못 알아들었지만, 괜찮습니다! 으아아앟~