잡담을 위한 소박한 장소

Here I am going to introduce some easy results on some criteria for interchanging the order of integration which are not covered by the classical Fubini theorem. Though both statements and proofs are weak and easy, it often reduces our burden to large extent. Let $f$ be a locally integrable function on $(0, \infty)$. That is, $f$ is a measurable function which is integrable on any compact subset..

Problem 1. Prove that[각주:1] \begin{equation*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4 \binom{2n}{n}} = \frac{17\pi^4}{3240}. \tag{1} \end{equation*} Proof. We divide the proof into several steps. 1. Reduction to an integral representation Let $S$ denote the summation in question. By using the Lemma 1 in Today's Calculation 29, we can represent $S$ as an integral. Then by the successive application of i..

Problem 1. Show that[각주:1] \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} x \left\{ (2S(x) - 1)^2 + (2C(x) - 1)^2 \right\}^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{16 \log 2 - 8}{\pi^2}, \tag{1} \end{equation*} where $S(x)$ and $C(x)$ denote the Fresnel integrals defined by \begin{align*} S(x) = \int_{0}^{x} \sin \left( \tfrac{1}{2} \pi t^2 \right) \, \mathrm{d}t \quad \text{and} \quad C(x) = \int_{0}^{x} \cos \left( \t..

Problem 1. Show that[각주:1] the product \begin{equation*} P = \left( \frac{2}{1} \right)^{\frac{1}{8}} \left( \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \right)^{\frac{3}{16}} \left( \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \right)^{\frac{6}{32}} \left( \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} \right)^{\frac{10..

Residue 계산하면 금방 나오는 쉬운 계산입니다. Proposition 1. We have \begin{equation*} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{(x^4 + 1)(e^{2\pi x} - 1)} \, \mathrm{d}x = \frac{\gamma}{2} + \frac{\pi}{4} \frac{\sin \pi\sqrt{2}}{\cosh \pi\sqrt{2} - \cos \pi\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \sum_{\omega^{4} = -1} H_{\omega}, \end{equation*} where $H_s = \gamma + \psi_{0}(1+s)$ is the analytic extension of the harmonic number.

간단한 스탈링 공식을 유도해보았습니다.. Theorem 1. We have \begin{equation*} n! \sim \sqrt{2\pi n} \, n^{n} e^{-n}. \tag{1} \end{equation*} For the proof of this theorem, the following observations are quite useful. Lemma 2. (i) For $u \geq 0$, let $f_n (u)$ by \begin{equation*} f_n (u) = \left(1 + \frac{u}{\sqrt{n}} \right)^{n} e^{-\sqrt{n} u}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots. \tag{2} \end{equation*} Then $f_{n+1}(u)..

그냥 간만에 Croft's Lemma의 아주 사소한 일반화를 올려볼까 합니다. 왠지 어딘가 쓸 수 있을 것 같은 두근거림이 느껴져요. Theorem #. Let $A \subset \Bbb{R}$ be a subset of $\Bbb{R}$ whose interior $U = \operatorname{int}(A)$ is not bounded above, i.e., $\sup U = \infty$. Also assume that $(c_n)$ is an increasing sequence of real numbers such that $c_n \to \infty$ and $c_{n+1} - c_{n} \to 0$ as $n \to \infty$. Then the set $$ D = \{ x \in \Bb..

이번 만우절 장난은 잘 즐기셨나요? 이번의 관전 포인트는, 역시 포토샵으로 만든 책 이미지가 아닐까 싶습니다. 이번 작업에 사용된 책은 Bartle & Sherbert 의 Introduction to Real Analysis 라는 책입니다. 간단한 스펀지질을 통해 제목과 그림을 지우고 대신 아래와 같은 가짜 저자와 제목을 덮어씌웠죠. 원본 책 지못미... 당연히, 저런 책도 저런 저자도 존재하지 않습니다. 저자 이름은 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)을 거꾸로 썼고, 부제는 Spivak의 The Joy of TeX을 베꼈습니다. 수식들도 블로그 어딘가에 잘 숨어 있습니다. 제가 지금까지 어떻게 이런 이상한 계산들을 할 수 있었는지 궁금해하시는 분들이 있을 것 같습니다. 하지만 저는..

Motivated by a problematic exercise in an analysis textbook, I decided to prove the following proposition. 1. The statement Theorem. There exists an ordered field $F$ such that it satisfies the nested interval property but does not satisfy the completeness axiom. Before the proof, we should explain what a non-principal ultrafilter means. Given a set $X$, a subset $\mathcal{U}$ of $\mathcal{P}(X)..

최근의 포스팅 「오늘의 계산 53」과 관련하여, 다음과 같은 관찰을 하였습니다. \begin{align*} \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right) \, dx &= \lim_{s\to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right), \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{2} \, dx &= -2 \zeta'(0) -\frac{3}{2}, \\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^{3} \, dx &= -6 \zeta '(-1) -\frac{19}{24}, \\ \..

요즘 StackExchange에서 노닥거리다가 줏은 문제 몇 개를 조금씩 각색해서 올려봅니다. Problem 1.Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be sequences of non-negative real numbers which are not identically zero. Also, let $(c_n)$ be the Cauchy product of these sequences: $$ c_n = (a \ast b)_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}. $$ Prove that $$ \limsup_{n\to\infty} c_{n}^{1/n} = \max \left\{ \limsup_{n\to\infty} a_{n}^{1/n}, \limsup_{n\to\infty} b_{..

Here we want to calculate an integral related to our earlier calculation. Problem. Prove that \begin{equation} \label{eqn:wts} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^2 \, dx = \log (2\pi) - \frac{3}{2}. \end{equation} 1st Proof. Note that $$ \frac{1}{1-x} + \frac{1}{\log x} = \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{t}}{1-x} \, dt. $$ Then by Tonelli's theorem, we have \begin{align*} \int..

이번 계산에서는, 마지막 부분에 제가 깔끔하게 처리하지 못한 부분을 다른 분의 도움을 얻어 깔끔하게 처리해보았습니다. 어떤 분은 복소로 풀어내기도 했는데, 이 풀이 역시 상당히 마음에 와닿더군요. Problem. Let $(u_n)$ be the sequence defined by \begin{equation} \label{eqn:recur} \frac{u_1}{n} + \frac{u_2}{n-1} + \cdots + \frac{u_{n-1}}{2} + u_n = 1. \end{equation} Find the asymptotic behavior of $u_n$. Solution. We introduce the generating function $U(x)$ of $(u_n)$ given by $$U(x..

이전에 비슷한 적분을 실해석적으로 푼 적이 있는데, 이번에는 깔끔하게 복소로 계산해보았습니다. 제 복소적분 실력도 못 써먹을 수준은 아니군요. Problem. Prove that[1] $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\log(\cos x)}{x^2+\log^2(\cos x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{\log 2}\right) $$ Proof. Note that for $|x| < \frac{\pi}{2}$, we have $$ \frac{\log\cos x}{\log^2 \cos x + x^2} = \Re \frac{1}{\log\left( \frac{1+e^{2ix}}{2} \right)}. $$ Thus if $I$ denotes the give..

p-adic number에 익숙하다면 그냥 몇 줄 끄적이면 바로 따라나오는 정리인데, 오랜만에 다시 보니깐 그냥 싱숭생숭해서 다시 적어봅니다. 당분간은 유학 준비 - 특히 회화 준비 - 로 인해 수학 공부는 좀 쉴 것 같으니, 이렇게 간단한 내용들이나 스크랩해서 정리해볼까 하네요. 그나저나 역시 저는 뭘 해도 해석학적인 계산으로 때려박아야 직성이 풀리나봅니다. =ㅁ= Wolstenholme's Theorem. Let $p > 3$ be a prime number. If we write \begin{align*} 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{r}{q} \end{align*} in lowest term, then $r \equiv 0 \ (\math..

게임명 : 안티챔버(Antichamber)장르 : 퍼즐-플랫폼 게임개발자 : 알렉산더 브루스(Alexander Bruce) 이 게임은 일종의 퍼즐 게임입니다. 처음 시작하면 플레이어는 3차원 미로(?)에서 시작하게 되는데요, 조작법 이외의 그 어떠한 힌트도 받지 못한 채로 스스로 행동과 관찰 및 실험을 해 가면서 게임의 구조와 목적을 알아가야 합니다. 탄(stage)이라는 개념이 따로 없이 하나의 맵에서 계속 플레이 해나가며, 오브젝트 종류가 생각보다 많지 않습니다. 때문에 발에 땀나도록 몇 번 뛰어보면 맵의 개략적인 구조와 각각의 세세한 성질들을 모두 파악할 수 있습니다. 그리고 이에 대해 설명하게 되면 게임의 재미가 없어지기 때문에 설명은 생략하도록 하겠습니다. 이 게임에서 정말 재미있는 점은, 맵 ..

MathJax.Hub.Config({ jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, "HTML-CSS": { availableFonts: ["STIX", "TeX"], // Add "STIX" for Word style formula preferredFont: "STIX" }, TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } } }); 이번 포스팅에서는, 대다수의 고급 전략들의 공통분모라 할 수 있는 XY-날개에 대하여 알아보고, 또 이 전략을 바라보는 여러 관점을 소개함으로써 앞으로 등장할 색칠 전략, 연쇄 고리 전..

MathJax.Hub.Config({ jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"], tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, "HTML-CSS": { availableFonts: ["STIX", "TeX"], // Add "STIX" for Word style formula preferredFont: "STIX" }, TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } } }); 이번 포스팅에서는 가두기 전략에 대하여 설명하고자 합니다. 교차로 가두기 Strategy : Intersection Lock스도쿠에는 주어진 영역 내에서 숫자들이 특정한 조건을 만족시켜..

이번 포스팅에서는 기본적인 전략 바로 다음에 등장하는 전략들을 살펴보고자 합니다. 1. 드러난 부분집합 이전 포스팅에서 우리는 드러난 하나 전략에 대하여 알아본 바 있습니다. 드러난 하나 전략을 후보 숫자들을 셈하는 접근할 경우, 전략의 논리 자체는 칸 한에는 하나의 숫자가 들어가야 한다는 규칙 자체에서 곧바로 따라나왔었지요. 그리고 이 논리는 여러 칸을 동시에 생각하는 경우에도 비슷하게 확장됩니다. 우선 전략부터 살펴보기로 합시다. 이를 위하여, 용어를 하나 정의하고 넘어가겠습니다. 정의. 스도쿠 퍼즐에서 유닛(unit)이란 각각의 행, 열, 혹은 상자를 가리킨다. 이때, 드러난 하나 전략을 일반화한 드러난 부분집합(naked subset) 전략은 다음과 같이 서술할 수 있습니다. 전략 (드러난 부분집..

이번 포스팅에서는 가장 기본적인 전략에 대하여 살펴보려고 합니다. 1. 기본적인 후보 지우기 전략 서로 다른 두 칸이 같은 행이나 같은 열, 혹은 같은 상자 안에 들어있을 때, 서로를 볼 수 있다고 부릅니다. 스도쿠의 규칙에 의하면, 서로를 바라볼 수 있는 두 칸이 서로 같은 값으로 결정되서는 안됩니다. 그리고 이 간단한 관찰로부터 우리는 다음과 같이 아주 간단하면서도 강력한 전략인 기본적인 후보 지우기(obvious candidate removal) 전략을 얻게 됩니다. 전략 (기본적인 후보 지우기). 숫자가 n으로 결정된 각각의 칸에 대하여, 그 칸을 볼 수 있는 다른 모든 칸들에 포함된 후보 숫자(연필마크) n을 지울 수 있다. 아래는 예제입니다. 예제 1. 기본적인 후보 지우기 전략을 사용하여 후..