잡담을 위한 소박한 장소

오늘 포스팅할 계산은 세 가지 적분입니다. 이중 아래의 두 적분은 복소해석학 테크닉을 이용하면 쉽게 풀리는 일종의 연습문제 수준의 적분입니다. 풀이는 제 스프링노트의 계산노트 #010을 참조하세요. 그리고 아래 적분 은 오늘의 계산 29와 비슷한 방식으로 풀 수 있으며, 제 스프링노트의 계산노트 #011을 참조하시면 풀이를 보실 수 있습니다. p.s. 계산 틀린게 하나 있어서 은근슬쩍 지웠다는 건... 비밀입니다. 데헷 ♡

Problem. Prove the following identities. \begin{equation}\label{eqn:wts} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}} = \frac{2}{5} \zeta(3), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 2^n \binom{2n}{n}} = \frac{1}{4} \zeta(3) - \frac{1}{6}\log^3 2 \end{equation} We divide the proof into several lemmas. Lemma 1. For $|x| < 1$. \begin{equation}\label{eqn:wts_lem_1} \int_{0}^{x} ..

여러분, 정말 오랜만입니다. 거의 2달만에 블로그에 새 글을 남기네요. 오늘 가져온 계산은 1908년 G.H.Hardy가 저널 Messenger of Mathematics에 소개한 기묘한 적분 몇 개를 제가 직접 계산하는 데 성공하고, 그 결과가 타당한 범위를 좀 더 넓혀본 것입니다. 오늘 소개할 적분은 입니다. 단, β는 Re(β), Im(β) ≥ 0 을 만족하는 임의의 복소수입니다. 위 등식의 유도 및 증명과정은 아래의 스프링노트에 담겨 있습니다. 계산 노트 #007 (http://sos440.springnote.com/pages/4799193) 그럼 다음에 다시 만날 수 있기를 바라면서, 저는 다시 생활관으로...

이번에 성공한 계산은 다음 두 적분입니다. 특히 아래 적분은 처음 본 때가 2008년 6월 13일이었고, 가끔 생각날 때마다 끄적였으나 실패했던 적분이니, 거의 16개월만에 풀어낸 셈이군요. 이런 걸 보면 저도 아직 멀고 멀었나 봅니다. 두 적분에 대한 계산은, 자세하게 풀어서 적어드리고 싶지만 제게 허락된 시간이 거의 없는 관계로 각각 * 수학 노트 : #005 * 수학 노트 : #003 을 참조하세요.

드디어 1년을 넘게 끙끙 앓던 물건 을 증명해내는 데 성공했습니다. 올레~! 자세한 내용은 「오늘의 계산 12」 에서 참조하세요!

수학에서 공식이 전부는 아니지만, 기발한 아이디어로 얻어지거나 압도적인 힘을 때려박아 얻어진 공식들을 보면서 종종 느끼는 짜릿함은, 역시 수학에서 공식이라는 요소를 무시할 수 없구나 하는 생각을 지울 수 없게 합니다. 그리고 제 취미인 계산에 도움이 될 것도 같아서, 요즘 슬며시 살펴보고 있는 공식들을 하나 둘씩 모아보려고 합니다. § Polylogarithm related formulas Series-based definition of polylogarithm Recursive definition of polylogarithm Euler's reflection formula Landen's identity Pentagon identity (by Rogers) A formula for trilogarit..

아, 자대에서는 아무래도 시간도 없고, 갖고 들어온 잡지(Scientific American, Nature 등)나 소설책(잘린머리 사이클)도 읽어야 하니 뭔가 멋진 계산을 할 시간이 없군요. 그리고 검산할 시간도 부족하네요. 그래서 아래 계산은 솔직히 허접하기도 하고 아직 검산도 못 해봤습니다. 그래도 이등병이 싸지방을 이용할 수 있는 유일하게 허락된 이 시간을 빌려 블로그의 정체를 막기 위한 발악은 해봐야겠습니다. 오늘도 역시 속사포 계산입니다. -_- 단, 여기서 다음 등식 을 사용했으며, 위 등식에서 무한합은 대칭적으로, 즉 -N부터 N까지의 합에 N→∞을 취한 것입니다. (2009/09/20) 위 값을 최종적으로 계산해보면 1/cosh(πω) 가 됩니다. 즉, 이 함수는 푸리에 변환에 대해 불변입..

다음은 Braid의 맵 편집기(Level Editor)와 관련된 기능 키들입니다. 1. 게임 진행 중 F9 : 시간이 역으로 흐르는 맵에서1) 시간을 정방향으로 돌린다. F10 : 부스터2)를 기록한다. F11 : 맵 편집기 모드로 전환한다. Shift+F11 : Sprite 편집기 모드로 전환한다. 2. 맵 편집기 모드에서 화면 위치조정 ↑, W : 화면을 위로 이동한다. ←, A : 화면을 왼쪽으로 이동한다. ↓, S : 화면을 아래쪽으로 이동한다. →, D : 화면을 오른쪽으로 이동한다. 오브젝트 선택 Q : 현재 선택된 오브젝트를 마우스를 이용해 크기를 조절하거나 위치를 이동시킬 때, 다른 오브젝트들이 선택되는 것을 방지되는 모드를 켜거나 끈다. J : 이전 오브젝트를 선택한다. L : 다음 오브..

이 글은 Braid 공식 블로그에 올라온 Braid Level Creation Thread 라는 제목의 글을 의역한 것입니다. 의역이 마음에 안 드시면 앞의 링크를 따라 해당 사이트에서 원문을 확인해보시기 바랍니다. The Braid Level Creation Thread I know that people are starting level creation threads in some places like the Steam forums, but I thought I would post some initial editor information in a very public place like this… people can ask questions here and I will answer them. 저는 사람..

자체 맵 편집기가 숨어있었다니... Jonathan Blow는 역시 천재입니다. 아래는 이 편집기를 통해 살짝 손을 본 World 2 의 3번째 맵, Hunt! 의 스틸샷입니다. 그리고 다음은 편집기에서 위 맵을 불러들인 모습입니다. 언빌리버블~ =ㅁ=b 참고로 관련 사이트를 소개해드립니다. (1) The Braid Level Creation Thread (2) Braid Mods Community (3) 제가 현재 플레이 중인 Braid MOD - PostEpilogue (After the Epilogue) 0.8 - 실행 방법 : (1) 위 링크를 타고 들어가서 파일을 PostEpilogue_0.8.braid 파일을 받는다. (2) 받은 파일 이름을 PostEpilogue_0.8.zip 으로 바꾼다...

여러분들도 군대에 오시면 이런 계산을 할 수 있습니다...? 오늘 보이려고 하는 계산은 다음 두 극한값을 계산하는 과정이다. 우선 두 계산에 공통적으로 사용될 사실들을 몇 가지만 따로 떼어서 보조정리로 정리해보도록 합시다. 보조정리 1 이다. 증명) 간단한 계산이다. a > 0 일 때 공식 이 성립함을 이용하면 보조정리 2 임의의 실수 a에 대하여 이다. 증명) f(t) = 2t - 1 - t 로 두면, f(1) = 0 이고 t ≥ 1 일 때 f'(t) = 2t log 2 - 1 ≥ 2 log2 - 1 > 0 이므로, 2t ≥ 1 + t 이 성립한다. 그러므로 이고 맨 오른쪽 항이 n→∞ 일 때 0으로 수렴함은 당연하므로, 증명된다. 보조정리 3 로 두면, 0 ≤ x ≤ 1 일 때 이 성립한다. 증명) ..

군대에서도 짬이 생기면 이런 계산을 할 수 있다는 것을 보여드리고 싶었습니다! 오늘 계산할 적분은 다음 적분입니다: 단, p, q > 0 이고 1-p < r < 1+min(p,q) 입니다. 우선 r이 0이 아니라고 가정하고 이 적분을 계산해봅시다. 그러면 간단한 계산과정을 통해 감마함수를 포함하는 닫힌 식을 얻습니다. 그리고 I(r)의 연속성을 이용하여 r→0 의 극한을 취하면 I(0) 의 값을 얻고, 실제로 계산해보면 라는 결론을 얻습니다. 단, γ는 오일러-마스케로니 상수입니다.

친한 형의 추천으로 Demo판을 30분 정도 맛본 후 일말의 주저함도 없이 바로 질러버린 게임입니다. 정식한 등록을 한 날 바로 노멀엔딩까지 보고선 전신에 무한한 충격과 감동이 흐르는 것을 느낄 수 있었던 게임이죠. 아래는 이 게임에 대한 약간의 소개를 담고 있는 블로그입니다. 게임역사에 한 획을 그은 아케이드 게임. 'Braid' (2009.04.26) 아래 블로그에 이 게임이 이렇게 인상깊은 이유가 대체로 잘 적혀 있는데, 혹시 위 글도 읽고 아래 블로그도 살펴보면서 이 Braid라는 게임에 대해 약간이라도 하고 싶은 마음이 드셨다 하면, 아래 사이트를 포함한 다른 어떠한 사이트에서도 엔딩 관련 동영상은 절대로 보지 마시고. 웬만하면 공략 동영상이라는 것들도 보지 마세요. XBLA 최고의 게임 = B..

흐음? 오호라, 박테리아 종간나 색기가 요래 생겼고만?

Today we are going to prove the unproven assertion in the previous posting 「오늘의 계산 16」, and also establish a proof of the observation in 「여러가지 잡담」. Theorem. Let $\alpha$ be a complex number away from negative integers, and denote \begin{equation*} \binom{\alpha}{z} := \frac{\alpha!}{z!(\alpha-z)!} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(z+1)\Gamma(\alpha-z+1)} \end{equation*} the extended binomial coef..

이건 좀 옛날에 보고 'EA 센스 좀 죽이는데?' 하고 넘어갔던 물건입니다. 님들 지금 아이실드 21 찍나요?

한 여자가, 기구로 비행을 하던 도중 바람에 지도를 날려버렸다. 아무래도 어떤 방향으로 가야할지 몰랐기에 그녀는 어쩔 수 없이 저 아래를 걷고있던 남자에게 소리를 질렀다. 「저, 실례합니다. 여기가 어디인지 가르쳐 주실 수 없습니까? 원래는 1시간 안에 돌아갈 계획이었지만 여전히 이렇게 하늘만 맴도는 중입니다···」 남자는 이렇게 대답했다. 「당신이 있는 장소는, 대략 지상 30미터 정도의 상공입니다. 위치는 북위 36도 30분과 35분의 사이, 동경 39도 45부와 50분 사이지요」 그 말을 듣고 여자가 물었다. 「실례지만, 직업이 엔지니어 아니신가요?」 「그렇습니다. 어떻게 아셨죠?」 「지금 받은 정보는 분명 이론적으로는 틀림없을 것입니다. 그러나 숫자는 해석 방법을 모르면 전혀 도움이 되지않습니다...

요즘 GRE 공부때문에 수학에 손 댈 기회가 더더욱 없어서 우울한 차에, 오랜만에 주말을 맞아 본격적으로 웹서핑 좀 하다가 쉽고 재미있는 문제를 발견해서 한번 풀어봤습니다. 첫 번째 계산은 위의 계산입니다. 단, 여기서 입니다. 위 사실들을 참이라고 가정하면, a > 1 일 때 성립하는 등식 에 a = 2 를 대입하여 다음 등식을 얻어냅니다. 이제 첫 번째 식의 수렴성을 증명하고 이 식의 값을 계산하는 일만 남았습니다. 우선 계산에 앞서, 보조정리 하나를 증명해봅시다. Lemma 만약 f가 C1[a,b]에 속하면, 다음 식이 성립한다. proof. 함수 F를 이라고 두자. n을 고정하고, Δx = (b-a)/n 과 xk = a + kΔx 로 두자. 그러면 Taylor 정리에 의해서, 적당한 가 존재하여,..

상당히 난이도 있는 적분이라고 합니다. 아래 첨부파일 에 풀이가 있긴 하지만, 프랑스어는 못 읽어서 이해를 못 하겠더군요. 그러므로 이 블로그에서 위 적분에 대한 풀이를 올릴 수 있는 날이 올 지는 모르겠습니다. p.s. 요즘 계산을 거의 안 올려서 그런지 블로그가 한산하네요. -ㅁ-;;

The Feynman Problem Solving Algorithm 1 Write down the problem; 2 Think very hard; 3 Write down the answer. 정말 간결하면서도 강력한 알고리즘이군요. 지금까지 이런 걸 깨닫지 못했다니…. 그러고 보니 오늘부터 새학기이군요. 저는 일단 휴학하고 GRE 공부와 조화해석 공부에 힘을 쏟다가 적당한 시점에서 군대에 끌려갈 생각을 하고 있습니다. Antoni Zygmund, One of the greatest mathematian in 20th-century. 아, 이 방황하는 마음에 안정이 찾아와 깃들기를 바라며, 저는 오늘도 집에서 뒹굴거립니다. ……어?