잡담을 위한 소박한 장소

Ahmed's Integral 이것도 좀 쇼킹합니다. 풀이는 다음과 같습니다. 여기서 다음과 같은 부정적분 공식 (단, a > 1) 을 사용했습니다. 아, 물론 제가 생각해낸 풀이는 아니고 저도 보고 배운 풀이입니다. -_-;; 위의 사이트를 들어가보면 이것 말고도 다른 버전들이 있는데, 바로 위에서 소개한 풀이를 잘 뜯어보면 알 수 있듯이, 위 풀이는 오직 저 적분에만 통하고 다른 버전의 Ahmed's integral에는 먹히지 않음을 알 수 있습니다. 여러가지 변형을 시도해보고 있는데, 잘 안 먹히는군요.

Ramanujan Cos/Cosh Identity 다음 식이 임의의 θ에 대해 성립한다고 합니다. 라마누잔은 변태다. 그래, 변태다... 변태임에 틀림없어! ( ˚Д˚)ㆀ 처음 저 식을 보자마자 제 입에서 나온 것은 오직 '와아' 하는 탄성뿐... orz

더운 방 안에 쳐박혀서 땀을 뻘뻘 흘리며 1시간 반 동안 계산한 끝에 얻은 결과입니다. 마치 프라모델광이 방에 쳐박혀 프라모델을 조립해 어엿한 1/100 MG 자×를 만들어내는 것과 비슷한 마음으로 풀었습니다. (이녀석, 위험하다... (˚;ε;˚;)a) 단, 여기서 γ1은 스틸체스 상수(Stieltjes constant) 입니다. 이런 상수가 있다는 건 알고 있었지만, 실제로 계산할 때에 바로 이 상수가 저 자리에 들어간다는 걸 깨닫지는 못했습니다. 그래서 이 상수의 값을 결정하기 위해 1시간동안 삽질을 했죠. 원래 제가 얻은 결과는 입니다. 단, 입니다. 처음 1시간동안은 c가 closed form으로 나타날 거라고 믿고 계산질을 했지만, 결과는 ㅇ

첫 번째 적분은 쉽게 계산됩니다. 문제는 두 번째 적분입니다. 사실 첫 번째 적분을 잘못 계산하는 과정에서 두 번째 적분을 계산하게 되었는데, 이 어떻게 주어지는가를 프로그램으로 관찰하다가 우연히 저 등식이 성립함을 알아냈습니다. 그런 의미에서 아직까지 두 번째 적분은 계산을 못 한 것이죠. 열심히 끙끙거리고 있지만 신통치 않군요 -_-;; 드디어 미성숙한 계산에 끝을 볼 때가 왔습니다. 오늘 열심히 펜을 굴린 덕에 마침내 두 번째 등식을 증명하는 데 성공했습니다. 하지만 본론에 들어가기 앞서, 이를 위한 몇 가지 사전준비가 필요합니다. 우선은 다음 등식입니다. 증명은 아주 쉬우므로 패스하도록 하겠습니다. 다음으로 여러분께서 Li2, 즉 dilogarithm의 정의와 아주 기초적인 성질 정도는 알고 계신..

... 이건 영락없는 오덕의 책장이군요. 아, 새 창으로 보기를 하면 원래 사이즈로 감상 가능합니다.

오늘의 허접한 계산은 다음 적분입니다. 이야... 저도 처음 봤을 때에는 "진짜 이런 게 적분 가능해?" 라고 외쳤습니다만, 상수가 아주 절묘하게 조절되어 있어서 그런지 풀리더군요. 어쨋든 풀이 나갑니다. 라고 둡시다. 그러면 이므로, 입니다. 그런데 이므로, 증명됩니다.

수강신청을 기다리다가 심심해서 돌아다니던 중 발견한 적분입니다. 어려울 줄 알았는데, 아무 생각없이 평소에 쓰던 테크닉을 적용했더니 그냥 직빵으로 풀려서 뭔가 허무했습니다... orz

수학과 과방... 그곳은 관악산에 틀어박힌 한 허름한 건물(27동)의 422호에 위치한 마의 장소입니다. 오랜만에 방문한 과방의 모습은... [한달 전] [오늘] ... 거의 변한게 없잖아! 한편으로는 기쁘면서 또 한편으로는 뭔가... -ㅅ-ㆀ

아... 더워! 집중이 안돼! 책이 손에 안 잡혀! 검은 건 글씨인데... orz 이 해면처럼 구멍이 숭숭난 귀차니스트 대뇌에 구원을...! 아, 어쨋든 오늘의 계산은 그냥 간단한 거 적고 넘어갑니다.

나, 지금 웃고 있니......? .... 후,

여전히 찌질함이 풋풋하게 묻어나오는 지식인을 보니 감회가 새롭습니다. 특히 오픈백과에 널려있는 말도안되는 헛소리들을 보면 참 기분이 묘해집니다. (물론 그 중에는 제가 옛날에 적었던 헛소리도 있습니다 =ㅁ=ㆀ) 뭐 trisecting이니 FLT의 elementary proof니 하는 내용은 애초에 봐서 좋을 거 없으므로 읽지는 않았고, 다른 내용들을 그냥 가벼운 마음으로 휙휙 읽어넘기다보니, 오랜만에 0.999… 떡밥이 보이더군요. 옛날같았으면 불같이 달려들어서 같이 찌질거렸겠지만, 그냥 요즘은 한번 슥 보고 씩 웃어주고 넘어가게 됬습니다. 옛날에 2년 넘게 지식인에서 진흙탕 구르듯 이전투구하던 시절의 경험으로 비추어 보면, 뭔 말을 해도 결국 수학이 아닌 것으로 싸우게 되니 말이죠. 이미지는 어째서인지..

어떤 부등식을 보이려다가 우연히 얻어냈는데, 의외로 여러 계산에서 사용할만 하여 여기 올립니다. (나중에 안 사실이지만, 사실상 이 적분은 확장된 이항계수의 푸리에 변환과 직접적으로 연관됩니다. 풀이는 다른 포스팅을 참고하세요) [명제] p > -1 이고 x가 임의의 복소수일 때 다음 등식이 성립한다. 증명의 스케치는 다음과 같습니다. Step 1) 함수족 을 다음과 같이 정의하면, 는 p→∞일 때 에서의 approximation to the identity 이다. Step 2) 함수 를 와 같이 정의하면, p > 1 일 때 다음 등식이 성립한다. 그 다음에 두 스텝을 섞으면 원하는 결론이 도출됩니다. 위 등식에서 p = 0 으로 두면 바로 sinh 의 무한곱 표현이 나오고, p = 1 으로 두면 cos..

아아아, 드디어 시험 끝났습니다. 새하얗게 불태웠습니다. ... 그리고 내 성적도 끝나버렸다 OTL 그나저나 막상 방학이 시작되니까 그렇게 땡기던 애니들도 갑자기 보기 귀찮아집니다.

오늘의 계산은 다음 적분 입니다. 편의상 이라고 가정합시다. 식 를 이용하면, 다음 적분을 계산한 결과에 -2를 곱한 결과가 가 됨을 확인할 수 있습니다. 계산해보면, 마지막 항을 계산하기 위해 다음 적분을 생각합니다. 양 변을 에 대해 편미분하여 정리하면, 이 식을 에 대입하면 따라서, 원래 적분이 에 대한 짝함수(우함수)임을 감안하면, 다음 결과를 얻습니다.

가끔 보면 의외로 간단한 공식을 자꾸 까먹어서 수십번이나 계산을 반복하는 자신을 발견하곤 한다. 그런 사태를 방지하기 위하여, 간단하거나 유명한 공식들은 좀 박아뒀다 두고두고 써야겠다. 혹은 범용적인 식처럼 보이는 것들을 모아두거나... 1. Several Transforms and Its Variations (단, 는 Hurwitz zeta function) 2. Well-Known Formulas 3. Binomial Coefficients 4. Geek :-p 뭐랄까... 보고 있으니 내가 적분구간이 0에서 ∞까지인 적분을 이렇게나 좋아했나 하는 생각이 든다. -.-;;

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..

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세상에는 수많은 종류의 락이 있다. 그리고 각각의 락 장르마다 수많은 락커들이 있다. 인민 락 파리 락 예수 락 에이, 귀찮아... 여기까지만 -ㅅ-

고등학교 1학년 때쯤, 죽음에 대해 진지하게 고민해본 적이 있다. 한동안 죽음이라는 원초적 공포가 뱃속에 눌러앉아 꿈틀거려서, 핏기가 싹 빠지고 잠도 제대로 못 잤던 기억이 난다. 요즘도 일부러 강하게 그 감정을 상기시키면 몸서리칠 정도의 공포가 찾아오곤 한다. 물론 생각 자체는 많이 정리되어 있어서, 이것이 일상에 큰 문제가 되지는 않고 있다. 하지만 정리된 생각에서 내가 본질적인 해답을 찾은 것은 아니고, 죽음에 대해 걱정할 필요가 없다는 일종의 자기위안 혹은 도피 쯤 되는 대안을 내놓은 것에 불과하다. 그렇지만 가벼운 마음으로 생각해보면, 이런 경험들이 자극제가 되어 나의 삶이 항상 의미있고 충실하도록 채찍질해줄 수 있을 것 같다. 인생을 80년이라고 가정하면, 진심으로 남은 60년의 일분 일초를 ..

제가 세상에서 가장 좋아하는 자연현상 중 하나인 번개가 이런 모습으로...!