오늘의 계산 08 - A Useful Kernel

어떤 부등식을 보이려다가 우연히 얻어냈는데, 의외로 여러 계산에서 사용할만 하여 여기 올립니다. (나중에 안 사실이지만, 사실상 이 적분은 확장된 이항계수의 푸리에 변환과 직접적으로 연관됩니다. 풀이는 다른 포스팅을 참고하세요)

[명제] p > -1 이고 x가 임의의 복소수일 때 다음 등식이 성립한다.

증명의 스케치는 다음과 같습니다.


Step 1)   함수족 을 다음과 같이 정의하면, 는 p→∞일 때 에서의 approximation to the identity 이다.

Step 2)   함수 를

와 같이 정의하면, p > 1 일 때 다음 등식이 성립한다.

그 다음에 두 스텝을 섞으면 원하는 결론이 도출됩니다.

위 등식에서 p = 0 으로 두면 바로 sinh 의 무한곱 표현이 나오고, p = 1 으로 두면 cosh 의 무한곱 표현이 나오고, x 대신 ix 를 대입하면 sin 과 cos 의 무한곱 표현도 따라나옵니다. 좀 더 일반적으로, 사인함수와 닮은 꼴의 무한곱을 적분으로 표현할 때 유용하지 않나 싶습니다. 물론 이 무한곱은 감마함수로 변환이 가능합니다.