오늘의 계산 58 - A zeta prime integral

과제하느라 밤새서 정신도 어지러운 와중에, 자라는 낮잠은 안 자고 40분동안 끙끙 싸매면서 푼 문제…. 진심으로 토할듯이 졸리니 이젠 정말 자러 가야겠네요.

 

Proposition. The following holds:[1]

\begin{align*} \int_{0}^{1} \log\left(1+\frac{\log^{2} x}{4\pi^{2}}\right)\frac{\log(1-x)}{x} \, dx = -\pi^{2} \left( 4\zeta'(-1) + \frac{2}{3} \right). \end{align*}

 

Proof. See the reference [1] below.

 

풀이는 아래 참고문헌 [1]에 있습니다. 요즘 블로그로 풀이를 옮기기가 너무 귀찮아서 그냥 링크로... 허허

References

1. Vladimir Reshetnikov, A math contest problem $\int_0^1\ln\left(1+\frac{\ln^2x}{4\,\pi^2}\right)\frac{\ln(1-x)}x dx$ - Math StackExchange