잡담을 위한 소박한 장소

여러분들도 군대에 오시면 이런 계산을 할 수 있습니다...? 오늘 보이려고 하는 계산은 다음 두 극한값을 계산하는 과정이다. 우선 두 계산에 공통적으로 사용될 사실들을 몇 가지만 따로 떼어서 보조정리로 정리해보도록 합시다. 보조정리 1 이다. 증명) 간단한 계산이다. a > 0 일 때 공식 이 성립함을 이용하면 보조정리 2 임의의 실수 a에 대하여 이다. 증명) f(t) = 2t - 1 - t 로 두면, f(1) = 0 이고 t ≥ 1 일 때 f'(t) = 2t log 2 - 1 ≥ 2 log2 - 1 > 0 이므로, 2t ≥ 1 + t 이 성립한다. 그러므로 이고 맨 오른쪽 항이 n→∞ 일 때 0으로 수렴함은 당연하므로, 증명된다. 보조정리 3 로 두면, 0 ≤ x ≤ 1 일 때 이 성립한다. 증명) ..

군대에서도 짬이 생기면 이런 계산을 할 수 있다는 것을 보여드리고 싶었습니다! 오늘 계산할 적분은 다음 적분입니다: 단, p, q > 0 이고 1-p < r < 1+min(p,q) 입니다. 우선 r이 0이 아니라고 가정하고 이 적분을 계산해봅시다. 그러면 간단한 계산과정을 통해 감마함수를 포함하는 닫힌 식을 얻습니다. 그리고 I(r)의 연속성을 이용하여 r→0 의 극한을 취하면 I(0) 의 값을 얻고, 실제로 계산해보면 라는 결론을 얻습니다. 단, γ는 오일러-마스케로니 상수입니다.

Today we are going to prove the unproven assertion in the previous posting 「오늘의 계산 16」, and also establish a proof of the observation in 「여러가지 잡담」. Theorem. Let $\alpha$ be a complex number away from negative integers, and denote \begin{equation*} \binom{\alpha}{z} := \frac{\alpha!}{z!(\alpha-z)!} = \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(z+1)\Gamma(\alpha-z+1)} \end{equation*} the extended binomial coef..

요즘 GRE 공부때문에 수학에 손 댈 기회가 더더욱 없어서 우울한 차에, 오랜만에 주말을 맞아 본격적으로 웹서핑 좀 하다가 쉽고 재미있는 문제를 발견해서 한번 풀어봤습니다. 첫 번째 계산은 위의 계산입니다. 단, 여기서 입니다. 위 사실들을 참이라고 가정하면, a > 1 일 때 성립하는 등식 에 a = 2 를 대입하여 다음 등식을 얻어냅니다. 이제 첫 번째 식의 수렴성을 증명하고 이 식의 값을 계산하는 일만 남았습니다. 우선 계산에 앞서, 보조정리 하나를 증명해봅시다. Lemma 만약 f가 C1[a,b]에 속하면, 다음 식이 성립한다. proof. 함수 F를 이라고 두자. n을 고정하고, Δx = (b-a)/n 과 xk = a + kΔx 로 두자. 그러면 Taylor 정리에 의해서, 적당한 가 존재하여,..

상당히 난이도 있는 적분이라고 합니다. 아래 첨부파일 에 풀이가 있긴 하지만, 프랑스어는 못 읽어서 이해를 못 하겠더군요. 그러므로 이 블로그에서 위 적분에 대한 풀이를 올릴 수 있는 날이 올 지는 모르겠습니다. p.s. 요즘 계산을 거의 안 올려서 그런지 블로그가 한산하네요. -ㅁ-;;

The Feynman Problem Solving Algorithm 1 Write down the problem; 2 Think very hard; 3 Write down the answer. 정말 간결하면서도 강력한 알고리즘이군요. 지금까지 이런 걸 깨닫지 못했다니…. 그러고 보니 오늘부터 새학기이군요. 저는 일단 휴학하고 GRE 공부와 조화해석 공부에 힘을 쏟다가 적당한 시점에서 군대에 끌려갈 생각을 하고 있습니다. Antoni Zygmund, One of the greatest mathematian in 20th-century. 아, 이 방황하는 마음에 안정이 찾아와 깃들기를 바라며, 저는 오늘도 집에서 뒹굴거립니다. ……어?

이번 「오늘의 계산」 포스팅은, 어떤 의미에서는 계산 자랑이라기보다 오히려 좋은 풀이에 대한 현상수배라는 의미가 강합니다. [문제] a>0 이고 f : [0, a] → R 가 연속일 때, 다음 등식이 성립함을 보여라. 제 풀이는 일단 [여기]를 보시면 됩니다. 보다시피 좀 많이 지저분하고, 무엇보다도 문제의 본질을 비켜간 풀이가 아닌가 하는 의심을 하고 있습니다. 만약 저 문제에 대한 좋은 풀이를 아시거나 답이 저렇게 되어야 하는 근본적인 이유를 아시는 분이 있다면 주저말고 댓글을 달아주세요. 그럴듯한 답변을 해주신 분에게는 므흣한 이미지를 보내드립니다. ...어?

오늘은 그냥 허접한 계산입니다. 블로그 정체를 막기 위한 발악이랄까요... orz 자, 이제 여러분들도 다음 등식을 증명하실 수 있습니다! 둗웅...

어제 친한 형과 대화하던 도중 나온 적분문제인데, 대수위상 시험도 끝났겠다 해서 푹 자고 일어나서 한번 계산해봤습니다. 그리고 요즘 마침 MathLinks에서 적분 떡밥이 안 올라오는 터에 좋은 기회다 싶어서, 이 허접한 계산을 포스팅 거리로 삼아봤습니다. 어디서 이런 입가심거리도 안되는 계산따위를 올리냐! 하고 구박하셔도 할 말은 없지만, 그렇다고 블로그가 정체되는 것도 좀 거시기해서 말이죠 -.-a 실수 0

하라는 시험공부는 안하고 망상만 하고 자고 뒹굴거리다가, 문득 떠오른 내용입니다. 이전에, '오늘의 계산 16'에서 한 가지 추측을 한 적이 있죠. 그 추측에 대한 힌트가 될 지도 모르는 몇 가지 이론적, 수치적인 관찰을 해봤습니다. [정의] (1) f∈L1(R)에 대해, f의 Fourier transform f^를 다음과 같이 정의합니다. (2) 양수 R에 대해, Dirichlet kernel DR을 다음과 같이 정의합시다. [정리] f가 L1(R)에 속하고 미분 가능하면, f와 DR의 convolution f＊DR이 f로 pointwise converge합니다. [정리] f가 L1(R)∩C(R)에 속하고, 어떤 ε>0 에 대하여 growth condition |f(x)| ≤ (1+|x|)-1-ε 을 ..

대수경 망쳤다! OTL ... 그것도 한 문제(2-1)는 겁먹고 손 안댔는데 가장 쉬운 문제였다니 ㅇ

필드메달리스트인 Stephen Smale는 대학원생이었던 1958년에 k-sphere의 immersion의 분류에 관한 논문을 쓰면서 부산물로 구 뒤집기(sphere eversion)가 가능하다는 사실을 발견했다. 일상적인 표현을 빌자면, 자기 자신을 관통하는 것은 허용하면서 구를 연속적으로 변형하되, 변형 도중에 어떠한 경우에도 뾰족한 주름, 즉 꺾임이 생기는 것은 허용하지 않는 방식으로 구를 변형하면, 구의 안과 밖을 뒤집을 수 있다는 것이다. 좀 더 상황을 잘 이해하기 위해, 우선 상상속의 물질을 하나 등장시키자. 이 물질로 이루어진 막은 잘 휘고, 마음대로 늘어났다 줄어들 수 있고, 심지어 자기 자신과 관통할 수도 있지만, 찢거나 뾰족하게 접는 것은 불가능하다. 이제 이 물질로 이루어진 구를 생각..

오늘은 어렵지 않은 계산 두 개를 올립니다. [문제] 관계 을 만족하는 수열에 대하여 극한 의 값을 구하여라. [풀이] 라고 두자. 그러면 간단한 식 조작에 의하여 다음이 성립함을 보일 수 있다. 따라서 이라고 둘 수 있고, 초기조건에 의해 이 상수수열의 값은 이 된다. 그러므로, [문제] 과 의 값을 구하여라. [풀이] 이라고 두자. 그러면 에 의해, 다음 식이 성립한다. 그러므로 첫 번째 무한곱을 구하기 위해서는 다음 식의 일 때의 극한값을 구하는 것으로 충분하다. (주의: 아래 식의 극한값의 역수가 우리가 원하는 답이 됨에 주의하자.) 그런데 감마함수 반사공식에 의해 이고, 감마함수의 성질로부터 이므로, 첫 번째 무한곱은 다음과 같이 주어진다. 두 번째 무한곱도 거의 비슷한 방법을 이용하여 계산하면..

적당한 2차식 f(z) = z² + c 에서 계수 c를 단위원 위를 따라가면서 그려본 f의 줄리아 집합입니다. 아래는 보너스 ... 그냥 심심해요 ㅇ>-<

개학하고 나니까 귀차니즘이 해소되기는커녕 한층 더 강력해졌습니다. 포스팅도 다시 뜨문뜨문 시절로 돌아갈 것 같은 불안감이 듭니다. 오늘도 귀차니즘이 풀풀 솟아나기 때문에, 오늘은 굉장히 평범한 적분을 소개해드리겠습니다. 오늘 소개할 식은 다음 적분입니다. (단, a > 0) 사실 굉장히 평범한 적분이죠. 이것을 소개하는 이유는, 하나의 적분을 계산하는 여러가지 방법이 있다는 것을 살펴보고 싶기 때문입니다. 그러므로 이번 포스트는 어떠한 감흥을 주지 않는, 평범한 '자잘한 계산 테크닉의 소개' 정도에 그치겠습니다. [방법 1] 테일러 전개의 유일성을 이용한 방법 : 다음과 같이 식을 정리한 다음, 각 항의 계수들을 비교한다. [방법 2] 코시 적분공식을 이용한 방법 : 항상 그래왔던 것처럼, 윗쪽 반원에 ..

f : R→R 이 연속함수이고 E가 R의 countable dense subset이면, 정의역을 제한하여 얻은 함수 f|E 역시 E에서의 연속함수가 되죠. 그런데 어째서인지 무의식적으로 그 역도 성립한다고 믿고 있었습니다. 이런 어처구니없는 일이…

어떤 적분(특히, 0부터 ∞까지의 적분)이 주어졌을 때, 피적분함수를 적당히 두 함수의 곱으로 나누되 한쪽 함수는 어떤 함수의 라플라스 변환이 되도록 나눕니다. 그 다음에 그 함수를 라플라스 변환의 정의에 해당하는 적분으로 대체한 다음, 적분의 순서를 바꾸어 계산하는 테크닉입니다. 즉, f(x) = g(x)Lh(x) 로 나누어 (단, Lh는 h에 대한 라플라스 변환), 다음과 같이 적분 순서를 바꾸는 것입니다. 문제는, 어떤 조건이 주어져야 위 식이 성립하느냐 하는 것입니다. 이 계산은 보다시피 해석학에서 항상 정당화를 요구받는 '두 극한 연산자의 교환'의 특별한 케이스에 해당함을 알 수 있습니다. 최근에 행한 일련의 계산을 통해서, 매우 일반적인 조건에 대해 위와 같은 적분의 교환이 성립함을 증명했습니..

다음 부등식 이 p ≥ 2 에 대해 항상 성립하고, 등호가 성립할 필요충분조건이 p = 2 임을 보이는 문제입니다. Keith Ball은 University College London의 교수를 역임하고 있는 사람입니다. 그가 이 부등식을 직접 이용했는지 아니면 이것보다 더 간단한 형태의 부등식을 이용했는지는 모르겠지만, 어쨋든 그는 이 부등식을 이용하여, unit hypercube를 hyperplane으로 자른 단면의 부피가 최대 √2 라는 아름다운 사실을 증명하였습니다. 이 명제의 증명 자체는 아름다웠지만, K. Ball이 위 부등식을 증명하는 데 사용한 테크닉은 매우 끔찍한 계산덩어리였습니다. 후에 다른 수학자들이 훨씬 더 간단한 방법으로 위 부등식을 증명하는 데 성공합니다. 다음 증명이 그 증명인지..

오늘 계산할 적분은 이것입니다. 단, 여기서 팩토리얼은 감마함수를 이용하여 정의된 것으로 해석합니다. 적분이 아니라 합이라면 위 식이 성립하는 건 n이 음이 아닌 정수일 때 바로 따라나오는 내용입니다. 그렇지만 적분에 대해서도 같은 결과가 성립한다는 건 좀 신기한 결과죠. 사실 수치해석적인 계산을 이용하면 위 식이 임의의 음이 아닌 실수 n에 대해 성립함을 짐작할 수 있지만, 일단 제가 계산에 성공한 것은 n이 음이 아닌 정수일 때뿐입니다. 증명은 감마함수의 반사공식을 이용합니다. 계산해보면, 가 되므로 증명됩니다. 사실은 임의의 0 이상의 실수 n에 대해 다음 등식이 성립한다고 믿고 있습니다만, 수치적인 계산상의 심증은 있어도 실제로 증명은 아직 못 했습니다. p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를..

오늘도 숨 좀 돌리는 가벼운 적분입니다. 단, φ는 황금비입니다. 저 적분을 golden integral이라고 부르기도 하는 것 같은데, 뭐 일반적으로 알려진 적분은 아닌 것 같네요.