오늘의 계산 18

오늘은 어렵지 않은 계산 두 개를 올립니다.






[문제]  관계 을 만족하는 수열에 대하여 극한 의 값을 구하여라.



[풀이]  라고 두자. 그러면 간단한 식 조작에 의하여 다음이 성립함을 보일 수 있다.

따라서 이라고 둘 수 있고, 초기조건에 의해 이 상수수열의 값은 이 된다. 그러므로,

[문제]  과 의 값을 구하여라.



[풀이]  이라고 두자. 그러면 에 의해, 다음 식이 성립한다.

그러므로 첫 번째 무한곱을 구하기 위해서는 다음 식의 일 때의 극한값을 구하는 것으로 충분하다. (주의: 아래 식의 극한값의 역수가 우리가 원하는 답이 됨에 주의하자.)

그런데 감마함수 반사공식에 의해

이고, 감마함수의 성질로부터

이므로, 첫 번째 무한곱은 다음과 같이 주어진다.

두 번째 무한곱도 거의 비슷한 방법을 이용하여 계산하면 다음 결과를 얻는다.

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