잡담을 위한 소박한 장소

오늘은 그냥 쉬어가기로 매우 쉬운 적분을 하나 올립니다. 복소 테크닉으로 간단하게 풀리던가 안 풀리던가 기억은 잘 안나는 그런 적분입니다…. -_-ㆀ 목표는 위 적분을 계산하는 건데, 간단합니다. 0 < z < 1 이라고 합시다. 그러면 이므로, 양 변을 미분하고 16으로 나누면 을 얻습니다. 따라서 z = 1/4 를 대입하면 끝. 어때요. 참 쉽죠?

Ahmed's Integral 이것도 좀 쇼킹합니다. 풀이는 다음과 같습니다. 여기서 다음과 같은 부정적분 공식 (단, a > 1) 을 사용했습니다. 아, 물론 제가 생각해낸 풀이는 아니고 저도 보고 배운 풀이입니다. -_-;; 위의 사이트를 들어가보면 이것 말고도 다른 버전들이 있는데, 바로 위에서 소개한 풀이를 잘 뜯어보면 알 수 있듯이, 위 풀이는 오직 저 적분에만 통하고 다른 버전의 Ahmed's integral에는 먹히지 않음을 알 수 있습니다. 여러가지 변형을 시도해보고 있는데, 잘 안 먹히는군요.

Ramanujan Cos/Cosh Identity 다음 식이 임의의 θ에 대해 성립한다고 합니다. 라마누잔은 변태다. 그래, 변태다... 변태임에 틀림없어! ( ˚Д˚)ㆀ 처음 저 식을 보자마자 제 입에서 나온 것은 오직 '와아' 하는 탄성뿐... orz

더운 방 안에 쳐박혀서 땀을 뻘뻘 흘리며 1시간 반 동안 계산한 끝에 얻은 결과입니다. 마치 프라모델광이 방에 쳐박혀 프라모델을 조립해 어엿한 1/100 MG 자×를 만들어내는 것과 비슷한 마음으로 풀었습니다. (이녀석, 위험하다... (˚;ε;˚;)a) 단, 여기서 γ1은 스틸체스 상수(Stieltjes constant) 입니다. 이런 상수가 있다는 건 알고 있었지만, 실제로 계산할 때에 바로 이 상수가 저 자리에 들어간다는 걸 깨닫지는 못했습니다. 그래서 이 상수의 값을 결정하기 위해 1시간동안 삽질을 했죠. 원래 제가 얻은 결과는 입니다. 단, 입니다. 처음 1시간동안은 c가 closed form으로 나타날 거라고 믿고 계산질을 했지만, 결과는 ㅇ

첫 번째 적분은 쉽게 계산됩니다. 문제는 두 번째 적분입니다. 사실 첫 번째 적분을 잘못 계산하는 과정에서 두 번째 적분을 계산하게 되었는데, 이 어떻게 주어지는가를 프로그램으로 관찰하다가 우연히 저 등식이 성립함을 알아냈습니다. 그런 의미에서 아직까지 두 번째 적분은 계산을 못 한 것이죠. 열심히 끙끙거리고 있지만 신통치 않군요 -_-;; 드디어 미성숙한 계산에 끝을 볼 때가 왔습니다. 오늘 열심히 펜을 굴린 덕에 마침내 두 번째 등식을 증명하는 데 성공했습니다. 하지만 본론에 들어가기 앞서, 이를 위한 몇 가지 사전준비가 필요합니다. 우선은 다음 등식입니다. 증명은 아주 쉬우므로 패스하도록 하겠습니다. 다음으로 여러분께서 Li2, 즉 dilogarithm의 정의와 아주 기초적인 성질 정도는 알고 계신..

오늘의 허접한 계산은 다음 적분입니다. 이야... 저도 처음 봤을 때에는 "진짜 이런 게 적분 가능해?" 라고 외쳤습니다만, 상수가 아주 절묘하게 조절되어 있어서 그런지 풀리더군요. 어쨋든 풀이 나갑니다. 라고 둡시다. 그러면 이므로, 입니다. 그런데 이므로, 증명됩니다.

수강신청을 기다리다가 심심해서 돌아다니던 중 발견한 적분입니다. 어려울 줄 알았는데, 아무 생각없이 평소에 쓰던 테크닉을 적용했더니 그냥 직빵으로 풀려서 뭔가 허무했습니다... orz

수학과 과방... 그곳은 관악산에 틀어박힌 한 허름한 건물(27동)의 422호에 위치한 마의 장소입니다. 오랜만에 방문한 과방의 모습은... [한달 전] [오늘] ... 거의 변한게 없잖아! 한편으로는 기쁘면서 또 한편으로는 뭔가... -ㅅ-ㆀ

아... 더워! 집중이 안돼! 책이 손에 안 잡혀! 검은 건 글씨인데... orz 이 해면처럼 구멍이 숭숭난 귀차니스트 대뇌에 구원을...! 아, 어쨋든 오늘의 계산은 그냥 간단한 거 적고 넘어갑니다.

어떤 부등식을 보이려다가 우연히 얻어냈는데, 의외로 여러 계산에서 사용할만 하여 여기 올립니다. (나중에 안 사실이지만, 사실상 이 적분은 확장된 이항계수의 푸리에 변환과 직접적으로 연관됩니다. 풀이는 다른 포스팅을 참고하세요) [명제] p > -1 이고 x가 임의의 복소수일 때 다음 등식이 성립한다. 증명의 스케치는 다음과 같습니다. Step 1) 함수족 을 다음과 같이 정의하면, 는 p→∞일 때 에서의 approximation to the identity 이다. Step 2) 함수 를 와 같이 정의하면, p > 1 일 때 다음 등식이 성립한다. 그 다음에 두 스텝을 섞으면 원하는 결론이 도출됩니다. 위 등식에서 p = 0 으로 두면 바로 sinh 의 무한곱 표현이 나오고, p = 1 으로 두면 cos..

오늘의 계산은 다음 적분 입니다. 편의상 이라고 가정합시다. 식 를 이용하면, 다음 적분을 계산한 결과에 -2를 곱한 결과가 가 됨을 확인할 수 있습니다. 계산해보면, 마지막 항을 계산하기 위해 다음 적분을 생각합니다. 양 변을 에 대해 편미분하여 정리하면, 이 식을 에 대입하면 따라서, 원래 적분이 에 대한 짝함수(우함수)임을 감안하면, 다음 결과를 얻습니다.

가끔 보면 의외로 간단한 공식을 자꾸 까먹어서 수십번이나 계산을 반복하는 자신을 발견하곤 한다. 그런 사태를 방지하기 위하여, 간단하거나 유명한 공식들은 좀 박아뒀다 두고두고 써야겠다. 혹은 범용적인 식처럼 보이는 것들을 모아두거나... 1. Several Transforms and Its Variations (단, 는 Hurwitz zeta function) 2. Well-Known Formulas 3. Binomial Coefficients 4. Geek :-p 뭐랄까... 보고 있으니 내가 적분구간이 0에서 ∞까지인 적분을 이렇게나 좋아했나 하는 생각이 든다. -.-;;

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..

그냥 형태가 재미있는 적분을 하나 소개합니다. 그리고 아래도 역시 재미있는 식. $\begin{eqnarray*} & & \int_{0}^{\infty} \sinh^{-1}\left( \frac{1}{\sinh x} \right) \, dx\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{y}{\sinh y} \, dy \quad \quad (\text{where } \sinh x \sinh y = 1 )\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{2ye^{-y}}{1 - e^{-2y}} \, dy\\ & = & \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} 2y e^{-(2n+1)y} \, dy\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0..

오늘 보일 식은 다음 적분 입니다. 이 적분 정방향으로 공격하는 것은 꽤나 어려워 보이므로, 여기에서는 간접적인 방법으로 위 식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 등식 이 성립한다고 가정합시다. 양 변을 적분해서 정리해보면 이므로, 원래 적분식이 증명됩니다. 이제 맨 처음의 식이 참임을 보이는 것만 남았습니다. 이를 보이기 위하여, 처음 식의 좌변을 와 같이 둡시다. 그리고 이 식의 테일러 전개를 계산해보면 이고 이므로, 를 얻습니다. 마지막 등식은 제 이전 포스트에서 lnΓ(1+x) 의 테일러가 어떻게 나타나는지를 확인해보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다. 부수적으로 다음 결과들을 얻습니다. (1) 첫 번째 등식을 0에서 s까지 적분한 다음 몇 가지 간단한 조작을 하면 다음 식도 얻습..

위상수학 공부하던 도중 심심해서 샤샤샥 계산해봤습니다. $$ \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, \log t \, \mathrm{d}t = -\frac{\pi}{8}(1 + \log 4) $$

요것은 지난 인장 요것이 이번 인장

흐흠... 기본적인 테크닉 몇 개를 섞어서 풀어봤는데, 의외로 계산이 틀리지 않고 잘 나오는군요. (검산: Mathematica 6.0 이용) 좀 더 일반적인 결과를 얻기 위해서, 일단 다음과 같은 정의들을 합시다. Definition 1. Definition 2. 그러면 다음과 같은 두 보조정리를 얻습니다. 따라서 두 보조정리를 연결하면 임의의 n에 대해 logn(secθ)를 [0, π/2]에서 적분한 값을 원칙적으로 계산할 수 있습니다. 물론 실제로 계산하는 것은 조금 더 손이 갑니다 (특히 a(α)를 계산하는 것이 중요합니다.) [2011/03/10 추가] 조합적인 식을 이용하면 임의의 n에 대하여 위 적분을 좀 더 멋지게 나타낼 수 있습니다. 제 스프링노트 http://sos440.springno..

이주일 쯤 전인가 본 적분인데, 웬일인지 잘 안 풀리다가 오늘 너무나도 어이없게 쉽게 풀려버려서, 홧김에 블로그에도 질러봅니다. $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{e^x - 1}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^3}{3} + 4\pi \log^2 2 $$

Rapsody의 Emerald Sword를 듣고 있는데, 가사중에 to serve right ideal 이라는 말이 나옵니다. 여기서 right ideal을 잠깐 순간적으로 수학 용어로 해석해버린 자신이 참... 뭐랄까, 요즘 뇌의 저장용량이 부족해서 전공 내용을 제외한 나머지 내용을 모두 지워버리고 있는 느낌이 듭니다. 대충 이런 느낌: ;ㅅ; 으헝헝헝