잡담을 위한 소박한 장소

오늘 올리는 계산은 Coxeter's Integrals라는 적분의 계산입니다. 사실 이 적분을 처음 접한 것은 몇 년 전이지만, 그 동안은 번번히 계산에 실패했었습니다. 그러던 중, 지난 번 「오늘의 계산 37」의 접근법을 기본으로 하고, 아크코사인을 적절히 변형하는 방법을 발견해내어 이렇게 계산에 성공하게 되었습니다. 으, 참으로 긴 여정이었습니다만 그만큼 뿌듯하긴 하네요. Problem (Coxeter's integrals). Verify the following identities. \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{-1} \left( \frac{\cos x}{1+2\cos x}\right) \, dx & = \frac{5}{4} \zeta(2) \la..

Today's integral is a famous one. $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \arctan\sqrt{\frac{\cos2\theta}{2\cos^2\theta}} \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi^2}{24}. $$ To calculate this, we first note that \begin{gather*} \arctan(\alpha) = \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^2 x^2} \, \mathrm{d}x, \tag{1} \\ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+\alpha^2)(x^2 + \beta^2)}=\frac{\pi}{2\alpha\beta(\alpha+\bet..

http://math.arizona.edu/~savitt/GTM.html 몇 가지 간단한 질문에 답을 하면 자신의 성향과 가장 유사한 GTM 시리즈를 소개해주는 (준다고 주장하는) 사이트입니다. 저는 Joe Harris's Algebraic Geometry: A First Course 가 나왔네요. 이럴수가, 우리 과 같은 학번 중에서 저보다 더 대수기하랑은 거리가 먼 사람도 드문데... =_=;;

…을 가장한, 옛날에 AoPS에 답변으로 올렸지만 티스토리로 퍼오기 매우 귀찮아서 그냥 방치했던 계산 하나를 올려봅니다. 다른 꼴의 삼각함수 적분에도 쓸 수 있는 테크닉이 아닐까 해서 이렇게 올려봅니다. Today's integral we are going to evaluate is a famous one, . Solution 1 (by elementary calculus). It is clear that . To determine for , we consider the difference for . Some trigonometric identities show that Since it follows that and for . Therefore for all . Solution 2 (by complex ..

오늘 계산은 지금까지 MathLinks에 답변했던 계산들 중 2개를 추려서 올려본 것입니다. 이번에 계산할 적분은 아래 적분입니다. 특별한 설명 없이 쭉 이어나가겠습니다. \begin{align*} I & = \int_{0}^{1}\frac{\sqrt{x-x^{2}}}{(1+x^{2})^{2}}\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{y}(1+y)}{(1+(1+y)^{2})^{2}}\, \mathrm{d}t \tag{$x = 1/(1+y)$} \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y}(1+(1+y)^{2})} \tag{IbP} \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\inft..

블로그의 정체를 막기 위해, 이번에는 계산이 아니라 그냥 아주 간단한 내용을 올려봅니다. 방법론이 조금 제 마음에 들어서 올려봤는데, 너무 허접한 거 올렸다고 욕하진 마시고 그냥 감상해주세요 -ㅁ- 이 자리에서는 힐베르트 행렬 \begin{equation*} H_n = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix} \end{equation*} 의 역행렬이 존재하고, 그..

블로그의 정체를 막기 위해 오늘도 쉬운 계산 몇 가지를 적어보고자 합니다. [계산 1] α, β > 0 일 때 다음 계산이 성립합니다. 여기서 특별한 설명이 필요한 부분은 (1)에서 (4)에 해당하는 부분입니다. 우선 (1)은 제가 예전에 올린 글 중에서 적분의 교환가능성을 약간 확장한 것에 대한 글을 참조하시면 됩니다. 그리고 (2)와 (3)은 Lebesgue's dominated convergence theorem을 적용하면 되고, (4)는 감마함수의 미분으로부터 유도됩니다. [계산 2] 역시 쉬운 계산입니다. 오일러 적분의 일종이죠. 앗흥~

Problem. Evaluate the following integral. \begin{equation}\label{eqn:wts} \int_{0}^{1} \log (1-x) \log x \log (1+x) \; dx \end{equation} We divide the solution into several steps. 1. Reduction to Euler series. The key ingredient for the reduction is the following integral. \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p} \theta \cos^{q} \theta \log \sin\theta \log \cos\theta \; d\theta. \end{..

(이 글은 스프링노트의 내용을 블로그로 옮기기 위한 테스트에 의해 작성되었습니다.) ...(전략)... 화사하던 2007년의 봄날, 화창한 햇빛이 쏟아지는 24동 2층의 한 강의실은 어떤 문제로 인해 봄철의 아지랑이보다 더욱 뜨거운 열기 속에 휩싸였다. 그 문제를 누가 처음 가져왔는지는 기억이 정확하지 않다. 다만 미적분학 과목 혹은 해석학 과목의 한 퀴즈 문제에서 다음과 같은 급수 가 수렴하는가를 묻는 문제가 나왔고, 당연히 대부분의 학생들은 시원스러운 답은커녕 수렴성 자체조차 가늠하지 못했다. 곧 이 문제는 tan-1의 오타로 인한 해프닝임이 밝혀졌다. 하지만 그 와중에 어느 누군가가 위의 급수 역시 절대수렴한다는 사실을 한 시간만에 증명해냈다는 이야기가 돌기 시작했고, 이는 이 문제를 향한 공략에 ..

오늘의 계산은 증명은 계산노트 #013을 참조하세요!

Problem. Evaluate the following integral. \begin{equation}\label{eqn:wts} \int_{0}^{1}\frac{\log \cos ( \frac{\pi x}{2} )}{x (x+1)} \, dx \end{equation} We first introduce a lemma which will play the key role to our calculation. Lemma. Define the function $F(s)$ by \begin{equation*} F(s) = \int_{0}^{1} \frac{\log | \cos (sx) | }{x} \, dx - \int_{1}^{2} \frac{\log | \sin (sx) | }{x} \, dx. \end{e..

비록 군대에 있는 몸이지만 마음만은 아직도 이공계를 사랑하고 있습니다 -ㅅ-v ... 그래서 여자친구가 없는 건가;; ㅇ

요즘 리만제타함수 관련 내용을 공부하다가 제 취미랑 맞닥뜨리는 부분을 만나서 예전에 갖고 있던 관심이 다시 환기되 되살아났습니다. 그래서 구글링을 하면서 좀 관련 내용을 뒤지고 있는데, 여기 몇 가지 건진 파일들을 좀 올려놓으려고 합니다. [PDF] A CENTURY OF TAUBERIAN THEORY david borwein 1 D. Borwein, Tauberian theorems concerning Laplace transforms and. Dirichlet series, Arch. Math. ... G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Tauberian theorems concerning power ... www.carma.newcastle.edu.au/~jb616/tauber..

오늘 포스팅할 계산은 세 가지 적분입니다. 이중 아래의 두 적분은 복소해석학 테크닉을 이용하면 쉽게 풀리는 일종의 연습문제 수준의 적분입니다. 풀이는 제 스프링노트의 계산노트 #010을 참조하세요. 그리고 아래 적분 은 오늘의 계산 29와 비슷한 방식으로 풀 수 있으며, 제 스프링노트의 계산노트 #011을 참조하시면 풀이를 보실 수 있습니다. p.s. 계산 틀린게 하나 있어서 은근슬쩍 지웠다는 건... 비밀입니다. 데헷 ♡

Problem. Prove the following identities. \begin{equation}\label{eqn:wts} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}} = \frac{2}{5} \zeta(3), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 2^n \binom{2n}{n}} = \frac{1}{4} \zeta(3) - \frac{1}{6}\log^3 2 \end{equation} We divide the proof into several lemmas. Lemma 1. For $|x| < 1$. \begin{equation}\label{eqn:wts_lem_1} \int_{0}^{x} ..

여러분, 정말 오랜만입니다. 거의 2달만에 블로그에 새 글을 남기네요. 오늘 가져온 계산은 1908년 G.H.Hardy가 저널 Messenger of Mathematics에 소개한 기묘한 적분 몇 개를 제가 직접 계산하는 데 성공하고, 그 결과가 타당한 범위를 좀 더 넓혀본 것입니다. 오늘 소개할 적분은 입니다. 단, β는 Re(β), Im(β) ≥ 0 을 만족하는 임의의 복소수입니다. 위 등식의 유도 및 증명과정은 아래의 스프링노트에 담겨 있습니다. 계산 노트 #007 (http://sos440.springnote.com/pages/4799193) 그럼 다음에 다시 만날 수 있기를 바라면서, 저는 다시 생활관으로...

이번에 성공한 계산은 다음 두 적분입니다. 특히 아래 적분은 처음 본 때가 2008년 6월 13일이었고, 가끔 생각날 때마다 끄적였으나 실패했던 적분이니, 거의 16개월만에 풀어낸 셈이군요. 이런 걸 보면 저도 아직 멀고 멀었나 봅니다. 두 적분에 대한 계산은, 자세하게 풀어서 적어드리고 싶지만 제게 허락된 시간이 거의 없는 관계로 각각 * 수학 노트 : #005 * 수학 노트 : #003 을 참조하세요.

드디어 1년을 넘게 끙끙 앓던 물건 을 증명해내는 데 성공했습니다. 올레~! 자세한 내용은 「오늘의 계산 12」 에서 참조하세요!

수학에서 공식이 전부는 아니지만, 기발한 아이디어로 얻어지거나 압도적인 힘을 때려박아 얻어진 공식들을 보면서 종종 느끼는 짜릿함은, 역시 수학에서 공식이라는 요소를 무시할 수 없구나 하는 생각을 지울 수 없게 합니다. 그리고 제 취미인 계산에 도움이 될 것도 같아서, 요즘 슬며시 살펴보고 있는 공식들을 하나 둘씩 모아보려고 합니다. § Polylogarithm related formulas Series-based definition of polylogarithm Recursive definition of polylogarithm Euler's reflection formula Landen's identity Pentagon identity (by Rogers) A formula for trilogarit..

아, 자대에서는 아무래도 시간도 없고, 갖고 들어온 잡지(Scientific American, Nature 등)나 소설책(잘린머리 사이클)도 읽어야 하니 뭔가 멋진 계산을 할 시간이 없군요. 그리고 검산할 시간도 부족하네요. 그래서 아래 계산은 솔직히 허접하기도 하고 아직 검산도 못 해봤습니다. 그래도 이등병이 싸지방을 이용할 수 있는 유일하게 허락된 이 시간을 빌려 블로그의 정체를 막기 위한 발악은 해봐야겠습니다. 오늘도 역시 속사포 계산입니다. -_- 단, 여기서 다음 등식 을 사용했으며, 위 등식에서 무한합은 대칭적으로, 즉 -N부터 N까지의 합에 N→∞을 취한 것입니다. (2009/09/20) 위 값을 최종적으로 계산해보면 1/cosh(πω) 가 됩니다. 즉, 이 함수는 푸리에 변환에 대해 불변입..