이번 「오늘의 계산」 포스팅은, 어떤 의미에서는 계산 자랑이라기보다 오히려 좋은 풀이에 대한 현상수배라는 의미가 강합니다. [문제] a>0 이고 f : [0, a] → R 가 연속일 때, 다음 등식이 성립함을 보여라. 제 풀이는 일단 [여기]를 보시면 됩니다. 보다시피 좀 많이 지저분하고, 무엇보다도 문제의 본질을 비켜간 풀이가 아닌가 하는 의심을 하고 있습니다. 만약 저 문제에 대한 좋은 풀이를 아시거나 답이 저렇게 되어야 하는 근본적인 이유를 아시는 분이 있다면 주저말고 댓글을 달아주세요. 그럴듯한 답변을 해주신 분에게는 므흣한 이미지를 보내드립니다. ...어?
이계수학III C 연습 상급 레벨 11:00~12:20 (80분) 4일째 2007/7/13 (금요일) 실시 ★ 주어진 해답용지에 해답만 적으시오. 중간식은 채점하기 귀찮으므로 필요없음. ★ [1] 사면체 ABCO에 대해, OA=a, OB=b, OC=c, ∠AOB=60˚, ∠AOC=∠BOC=90˚ 일 때, 사면체 ABCO의 부피가 일정하다고 한다. △ABC의 면적 S가 최소가 되는 c의 값은 V를 이용해 표현하면 [ 아 ] 가 되며, 또 그 때의 c:a 의 비를 구하면 [ 이 ] 가 된다. [35점] [2] n을 자연수라고 하자. 정적분 를 계산하면, [ 우 ]가 된다. [30점] [3] n은 자연수라고 하자. 흰 구슬이 n개, 빨간 구슬이 1개가 들어있는 주머니가 있는데, 이 주머니에서 한 개의 구슬을 ..
어제 친한 형과 대화하던 도중 나온 적분문제인데, 대수위상 시험도 끝났겠다 해서 푹 자고 일어나서 한번 계산해봤습니다. 그리고 요즘 마침 MathLinks에서 적분 떡밥이 안 올라오는 터에 좋은 기회다 싶어서, 이 허접한 계산을 포스팅 거리로 삼아봤습니다. 어디서 이런 입가심거리도 안되는 계산따위를 올리냐! 하고 구박하셔도 할 말은 없지만, 그렇다고 블로그가 정체되는 것도 좀 거시기해서 말이죠 -.-a 실수 0
하라는 시험공부는 안하고 망상만 하고 자고 뒹굴거리다가, 문득 떠오른 내용입니다. 이전에, '오늘의 계산 16'에서 한 가지 추측을 한 적이 있죠. 그 추측에 대한 힌트가 될 지도 모르는 몇 가지 이론적, 수치적인 관찰을 해봤습니다. [정의] (1) f∈L1(R)에 대해, f의 Fourier transform f^를 다음과 같이 정의합니다. (2) 양수 R에 대해, Dirichlet kernel DR을 다음과 같이 정의합시다. [정리] f가 L1(R)에 속하고 미분 가능하면, f와 DR의 convolution f*DR이 f로 pointwise converge합니다. [정리] f가 L1(R)∩C(R)에 속하고, 어떤 ε>0 에 대하여 growth condition |f(x)| ≤ (1+|x|)-1-ε 을 ..
필드메달리스트인 Stephen Smale는 대학원생이었던 1958년에 k-sphere의 immersion의 분류에 관한 논문을 쓰면서 부산물로 구 뒤집기(sphere eversion)가 가능하다는 사실을 발견했다. 일상적인 표현을 빌자면, 자기 자신을 관통하는 것은 허용하면서 구를 연속적으로 변형하되, 변형 도중에 어떠한 경우에도 뾰족한 주름, 즉 꺾임이 생기는 것은 허용하지 않는 방식으로 구를 변형하면, 구의 안과 밖을 뒤집을 수 있다는 것이다. 좀 더 상황을 잘 이해하기 위해, 우선 상상속의 물질을 하나 등장시키자. 이 물질로 이루어진 막은 잘 휘고, 마음대로 늘어났다 줄어들 수 있고, 심지어 자기 자신과 관통할 수도 있지만, 찢거나 뾰족하게 접는 것은 불가능하다. 이제 이 물질로 이루어진 구를 생각..
오늘은 어렵지 않은 계산 두 개를 올립니다. [문제] 관계 을 만족하는 수열에 대하여 극한 의 값을 구하여라. [풀이] 라고 두자. 그러면 간단한 식 조작에 의하여 다음이 성립함을 보일 수 있다. 따라서 이라고 둘 수 있고, 초기조건에 의해 이 상수수열의 값은 이 된다. 그러므로, [문제] 과 의 값을 구하여라. [풀이] 이라고 두자. 그러면 에 의해, 다음 식이 성립한다. 그러므로 첫 번째 무한곱을 구하기 위해서는 다음 식의 일 때의 극한값을 구하는 것으로 충분하다. (주의: 아래 식의 극한값의 역수가 우리가 원하는 답이 됨에 주의하자.) 그런데 감마함수 반사공식에 의해 이고, 감마함수의 성질로부터 이므로, 첫 번째 무한곱은 다음과 같이 주어진다. 두 번째 무한곱도 거의 비슷한 방법을 이용하여 계산하면..
개학하고 나니까 귀차니즘이 해소되기는커녕 한층 더 강력해졌습니다. 포스팅도 다시 뜨문뜨문 시절로 돌아갈 것 같은 불안감이 듭니다. 오늘도 귀차니즘이 풀풀 솟아나기 때문에, 오늘은 굉장히 평범한 적분을 소개해드리겠습니다. 오늘 소개할 식은 다음 적분입니다. (단, a > 0) 사실 굉장히 평범한 적분이죠. 이것을 소개하는 이유는, 하나의 적분을 계산하는 여러가지 방법이 있다는 것을 살펴보고 싶기 때문입니다. 그러므로 이번 포스트는 어떠한 감흥을 주지 않는, 평범한 '자잘한 계산 테크닉의 소개' 정도에 그치겠습니다. [방법 1] 테일러 전개의 유일성을 이용한 방법 : 다음과 같이 식을 정리한 다음, 각 항의 계수들을 비교한다. [방법 2] 코시 적분공식을 이용한 방법 : 항상 그래왔던 것처럼, 윗쪽 반원에 ..
어떤 적분(특히, 0부터 ∞까지의 적분)이 주어졌을 때, 피적분함수를 적당히 두 함수의 곱으로 나누되 한쪽 함수는 어떤 함수의 라플라스 변환이 되도록 나눕니다. 그 다음에 그 함수를 라플라스 변환의 정의에 해당하는 적분으로 대체한 다음, 적분의 순서를 바꾸어 계산하는 테크닉입니다. 즉, f(x) = g(x)Lh(x) 로 나누어 (단, Lh는 h에 대한 라플라스 변환), 다음과 같이 적분 순서를 바꾸는 것입니다. 문제는, 어떤 조건이 주어져야 위 식이 성립하느냐 하는 것입니다. 이 계산은 보다시피 해석학에서 항상 정당화를 요구받는 '두 극한 연산자의 교환'의 특별한 케이스에 해당함을 알 수 있습니다. 최근에 행한 일련의 계산을 통해서, 매우 일반적인 조건에 대해 위와 같은 적분의 교환이 성립함을 증명했습니..
다음 부등식 이 p ≥ 2 에 대해 항상 성립하고, 등호가 성립할 필요충분조건이 p = 2 임을 보이는 문제입니다. Keith Ball은 University College London의 교수를 역임하고 있는 사람입니다. 그가 이 부등식을 직접 이용했는지 아니면 이것보다 더 간단한 형태의 부등식을 이용했는지는 모르겠지만, 어쨋든 그는 이 부등식을 이용하여, unit hypercube를 hyperplane으로 자른 단면의 부피가 최대 √2 라는 아름다운 사실을 증명하였습니다. 이 명제의 증명 자체는 아름다웠지만, K. Ball이 위 부등식을 증명하는 데 사용한 테크닉은 매우 끔찍한 계산덩어리였습니다. 후에 다른 수학자들이 훨씬 더 간단한 방법으로 위 부등식을 증명하는 데 성공합니다. 다음 증명이 그 증명인지..
오늘 계산할 적분은 이것입니다. 단, 여기서 팩토리얼은 감마함수를 이용하여 정의된 것으로 해석합니다. 적분이 아니라 합이라면 위 식이 성립하는 건 n이 음이 아닌 정수일 때 바로 따라나오는 내용입니다. 그렇지만 적분에 대해서도 같은 결과가 성립한다는 건 좀 신기한 결과죠. 사실 수치해석적인 계산을 이용하면 위 식이 임의의 음이 아닌 실수 n에 대해 성립함을 짐작할 수 있지만, 일단 제가 계산에 성공한 것은 n이 음이 아닌 정수일 때뿐입니다. 증명은 감마함수의 반사공식을 이용합니다. 계산해보면, 가 되므로 증명됩니다. 사실은 임의의 0 이상의 실수 n에 대해 다음 등식이 성립한다고 믿고 있습니다만, 수치적인 계산상의 심증은 있어도 실제로 증명은 아직 못 했습니다. p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를..
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