그냥 형태가 재미있는 적분을 하나 소개합니다. 그리고 아래도 역시 재미있는 식. $\begin{eqnarray*} & & \int_{0}^{\infty} \sinh^{-1}\left( \frac{1}{\sinh x} \right) \, dx\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{y}{\sinh y} \, dy \quad \quad (\text{where } \sinh x \sinh y = 1 )\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{2ye^{-y}}{1 - e^{-2y}} \, dy\\ & = & \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} 2y e^{-(2n+1)y} \, dy\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0..
오늘 보일 식은 다음 적분 입니다. 이 적분 정방향으로 공격하는 것은 꽤나 어려워 보이므로, 여기에서는 간접적인 방법으로 위 식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 등식 이 성립한다고 가정합시다. 양 변을 적분해서 정리해보면 이므로, 원래 적분식이 증명됩니다. 이제 맨 처음의 식이 참임을 보이는 것만 남았습니다. 이를 보이기 위하여, 처음 식의 좌변을 와 같이 둡시다. 그리고 이 식의 테일러 전개를 계산해보면 이고 이므로, 를 얻습니다. 마지막 등식은 제 이전 포스트에서 lnΓ(1+x) 의 테일러가 어떻게 나타나는지를 확인해보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다. 부수적으로 다음 결과들을 얻습니다. (1) 첫 번째 등식을 0에서 s까지 적분한 다음 몇 가지 간단한 조작을 하면 다음 식도 얻습..
세상에는 많은 프로그래밍 언어가 있습니다. FORTRAN이나 COBOL같은 고전적인 언어에서 시작해서 Pascal, C 같은 보편적인 명령형 언어나 SML, Haskell 같은 함수형 언어, Java, C++ 같은 객체지향 언어 등이 있습니다. 그렇지만 세상에는 이런 보편적이고 사용하기 쉬운 언어 이외에 매우 괴상하고 엽기적인 프로그래밍 언어들도 있습니다. 사용의 편의를 별로 고려하지 않고 특정한 목적을 갖고 만든 언어에서 시작해서, 극도의 불편함을 목표로 만든 프로그래밍 언어까지... 일주일 쯤 전에 선배와 대화하다가 우연히 알게 된 건데, 정말 괴상한 언어들 많더군요. 아래는 대표적인 것 몇 개를 나열해본 것입니다. 1) Brainfuck [Wikipedia] 이쪽 업계에서 가장 유명한 언어가 아닐까..
흐흠... 기본적인 테크닉 몇 개를 섞어서 풀어봤는데, 의외로 계산이 틀리지 않고 잘 나오는군요. (검산: Mathematica 6.0 이용) 좀 더 일반적인 결과를 얻기 위해서, 일단 다음과 같은 정의들을 합시다. Definition 1. Definition 2. 그러면 다음과 같은 두 보조정리를 얻습니다. 따라서 두 보조정리를 연결하면 임의의 n에 대해 logn(secθ)를 [0, π/2]에서 적분한 값을 원칙적으로 계산할 수 있습니다. 물론 실제로 계산하는 것은 조금 더 손이 갑니다 (특히 a(α)를 계산하는 것이 중요합니다.) [2011/03/10 추가] 조합적인 식을 이용하면 임의의 n에 대하여 위 적분을 좀 더 멋지게 나타낼 수 있습니다. 제 스프링노트 http://sos440.springno..
인터넷을 뒤지다 보면 종종 입실론-델타 논법(이하 ε-δ)을 물어보는 사람들이 있다. ε-δ이란 걸 전혀 들어보지 못한 상태에서 물어보는 경우도 있지만, 어떤 때에는 이미 ε-δ를 한 번쯤은 접해봤는데도 불구하고 그 말의 의미를 이해하지 못하여 질문하는 경우도 있는 것 같다. 지금의 나로써는 ε-δ가 굉장히 당연하게 와닿지만, 나도 사실 처음에 ε-δ의 정의를 봤을 땐 이해가 잘 안됬던 것 같다. 물론 평범한 고등학생이 굉장히 수학적이고 형식적인 것처럼 보이는 문장을 처음부터 쉽게 읽으면 그것도 나름대로 신기하긴 하겠지만…. 어쨋든, 이 글은 ε-δ를 좀 더 마음속으로 이해할 수 있도록 설명하는 방법을 찾기 위한 내 몸부림이다. 우선 정의부터 살펴보자. ε-δ를 이용한 극한의 정의는 다음과 같다. [정의..
초끈 주기도문 "Our Witten, which art in Princeton, Hallowed be thy name. Thy Nobel come, Thy will be done, In CERN as it is in the US. Give us this day our daily string, And forgive us our theory, As we forgive those who do phenomenology. Lead us not into experiment, And deliver us from tests. For thine is the arXiv, Hep-th and math-AG, For ever and ever, Amen" "프린스턴에 계신 우리 위튼님, 이름이 거룩히 여김을 받으시오며, 노벨상..
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