잡담을 위한 소박한 장소

밤새서 푼 적분 하나. 하라는 공부는 안 하고…! Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{\log x \log(1-x) \log^{2}(1+x)}{x} \, dx = \frac{7}{8} \zeta(2)\zeta(3) - \frac{25}{16} \zeta(5). \end{align*} Proof. Below is my proof of the above identity. Step 1. Let \( I \) be the integral in question: \begin{align*} I &= \int_{0}^{1} \frac{\log x \log (1 - x) \log^{2} (1 + x)}{x} \, dx. \end..

과제하느라 밤새서 정신도 어지러운 와중에, 자라는 낮잠은 안 자고 40분동안 끙끙 싸매면서 푼 문제…. 진심으로 토할듯이 졸리니 이젠 정말 자러 가야겠네요. Proposition. The following holds:[1] \begin{align*} \int_{0}^{1} \log\left(1+\frac{\log^{2} x}{4\pi^{2}}\right)\frac{\log(1-x)}{x} \, dx = -\pi^{2} \left( 4\zeta'(-1) + \frac{2}{3} \right). \end{align*} Proof. See the reference [1] below. 풀이는 아래 참고문헌 [1]에 있습니다. 요즘 블로그로 풀이를 옮기기가 너무 귀찮아서 그냥 링크로... 허허 References..

수업을 듣다가, 꽤나 흥미로운 사실인 것 같아서 그냥 정리해둡니다. Proposition. Define elementary symmetric polynomials of $n$ variables $\Lambda = \{ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \}$ by \begin{align*} c_{0} = 1, \quad c_{k} = \sum_{\substack{X \subset \Lambda \\ |X| = k}} \prod_{\lambda \in X} \lambda \quad (1 \leq k \leq n) \end{align*} and similarly we define \begin{align*} s_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}^{k} \qua..