잡담을 위한 소박한 장소

그동안 여기저기 싸지른 잡다한 계산들을 한 번 정리해볼까 합니다. Problem #. Show that \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(x^{2} + \log^{2}(\cos x) \right) \, \mathrm{d}x = \pi \log \log 2. \tag{1} \end{equation*} This problem is from [IS1]. Solution. Let $I$ denote the integral in $\text{(1)}$. By recalling the identity \begin{align*} x^{2} + \log^{2} (\cos x) = \left| \log \left( \frac{1+e^{2ix}}{2} \rig..

이제 겨우 미국 온 지 3일 지났네요, 허허. 그래서 새로운 방을 좀 공개해볼까 합니다. 방이 좀 넓고 괜찮아서 깜짝 놀랐습니다. 흐흐, 빨리 새로운 생활에 적응했으면 좋겠습니다. -ㅁ-;;

Here I am going to introduce some easy results on some criteria for interchanging the order of integration which are not covered by the classical Fubini theorem. Though both statements and proofs are weak and easy, it often reduces our burden to large extent. Let $f$ be a locally integrable function on $(0, \infty)$. That is, $f$ is a measurable function which is integrable on any compact subset..