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오늘의 계산은 다음 적분 입니다. 편의상 이라고 가정합시다. 식 를 이용하면, 다음 적분을 계산한 결과에 -2를 곱한 결과가 가 됨을 확인할 수 있습니다. 계산해보면, 마지막 항을 계산하기 위해 다음 적분을 생각합니다. 양 변을 에 대해 편미분하여 정리하면, 이 식을 에 대입하면 따라서, 원래 적분이 에 대한 짝함수(우함수)임을 감안하면, 다음 결과를 얻습니다.

다음 급수 의 합을 구하는 것이 이번 계산의 목표입니다. 우선 a, b > 0 이고 c > 1/2 라고 합시다. 그러면 가 성립합니다. 여기서 우리가 원하는 케이스는 (a, b, c) = (2, 1, 3) 인 때라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 α > 1/2 에 대해 와 같이 정의하고 u = tanθ로 치환한 다음 Beta function identity를 적용하면 이 성립함을 어렵지 않게 알 수 있습니다. 이 식에 로그함수 미분법을 이 식에 적용해보면 이고, 다시 한번 로그함수 미분법을 적용해보면 다음 식을 얻습니다. 단, 여기서 ψ0 과 ψ1 은 각각 digamma function과 trigamma function입니다. 식 (1)의 좌변을 라이프니쯔 적분 공식을 이용해 계산해보면, S(a, b..

그냥 형태가 재미있는 적분을 하나 소개합니다. 그리고 아래도 역시 재미있는 식. $\begin{eqnarray*} & & \int_{0}^{\infty} \sinh^{-1}\left( \frac{1}{\sinh x} \right) \, dx\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{y}{\sinh y} \, dy \quad \quad (\text{where } \sinh x \sinh y = 1 )\\ & = & \int_{0}^{\infty} \frac{2ye^{-y}}{1 - e^{-2y}} \, dy\\ & = & \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} 2y e^{-(2n+1)y} \, dy\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0..

오늘 보일 식은 다음 적분 입니다. 이 적분 정방향으로 공격하는 것은 꽤나 어려워 보이므로, 여기에서는 간접적인 방법으로 위 식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 등식 이 성립한다고 가정합시다. 양 변을 적분해서 정리해보면 이므로, 원래 적분식이 증명됩니다. 이제 맨 처음의 식이 참임을 보이는 것만 남았습니다. 이를 보이기 위하여, 처음 식의 좌변을 와 같이 둡시다. 그리고 이 식의 테일러 전개를 계산해보면 이고 이므로, 를 얻습니다. 마지막 등식은 제 이전 포스트에서 lnΓ(1+x) 의 테일러가 어떻게 나타나는지를 확인해보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다. 부수적으로 다음 결과들을 얻습니다. (1) 첫 번째 등식을 0에서 s까지 적분한 다음 몇 가지 간단한 조작을 하면 다음 식도 얻습..

위상수학 공부하던 도중 심심해서 샤샤샥 계산해봤습니다. $$ \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, \log t \, \mathrm{d}t = -\frac{\pi}{8}(1 + \log 4) $$

흐흠... 기본적인 테크닉 몇 개를 섞어서 풀어봤는데, 의외로 계산이 틀리지 않고 잘 나오는군요. (검산: Mathematica 6.0 이용) 좀 더 일반적인 결과를 얻기 위해서, 일단 다음과 같은 정의들을 합시다. Definition 1. Definition 2. 그러면 다음과 같은 두 보조정리를 얻습니다. 따라서 두 보조정리를 연결하면 임의의 n에 대해 logn(secθ)를 [0, π/2]에서 적분한 값을 원칙적으로 계산할 수 있습니다. 물론 실제로 계산하는 것은 조금 더 손이 갑니다 (특히 a(α)를 계산하는 것이 중요합니다.) [2011/03/10 추가] 조합적인 식을 이용하면 임의의 n에 대하여 위 적분을 좀 더 멋지게 나타낼 수 있습니다. 제 스프링노트 http://sos440.springno..

이주일 쯤 전인가 본 적분인데, 웬일인지 잘 안 풀리다가 오늘 너무나도 어이없게 쉽게 풀려버려서, 홧김에 블로그에도 질러봅니다. $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{e^x - 1}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^3}{3} + 4\pi \log^2 2 $$