잡담을 위한 소박한 장소

오늘의 계산 시리즈로 여러분들을 다시 찾아뵙는 것은 정말 오랜만이네요. 거의 반 년 가까이 계산을 놓고 있었는데, 오늘 좋은 떡밥을 하나 줏어서 열심히 머리굴린 덕에 계산해낼 수 있었습니다. 한 3시간 정도 매달린 것 같네요. 아, 어지러워... 진리의 미쿠로 다시 회복하고 확률미방이나 공부해야겠네요. Problem. Find the value of the integral \begin{equation*} \int_{0}^{1} \frac{\log \log (1/x)}{1+x^2} \; dx. \end{equation*} Solution. By the substitution \( x = e^{-t} \), we find that \begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{(\log (1/..

이런 거라도 올려야 블로그가 정체되지 않겠지요? 으헣헣 ;ㅅ; Tonelli's theorem enables us to exchange the order of integration and summation of a sequence of nonnegative functions. Thus for \( 0 < r < 1 \), \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{r^n}{n!} \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x} \; dx & = \int_{0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(rx)^n}{n!} e^{-x} \; dx = \int_{0}^{\infty} e^{-(1 - r)x} \; dx \\ & = \frac{1}{1 -..

고딩때 독서실에서 하라는 시험공부는 안 하고 노트에 끄적였던 내용이 문득 떠올라서, 조금 다듬어서 올려봅니다. Definition 1.네 행렬 \(U\), \(I\), \(J\), \(K\)를 다음과 같이 정의한다. \begin{equation} U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} 그러면 다음과 같은 관찰을 할 수 있습니다. ..