잡담을 위한 소박한 장소

개학하고 나니까 귀차니즘이 해소되기는커녕 한층 더 강력해졌습니다. 포스팅도 다시 뜨문뜨문 시절로 돌아갈 것 같은 불안감이 듭니다. 오늘도 귀차니즘이 풀풀 솟아나기 때문에, 오늘은 굉장히 평범한 적분을 소개해드리겠습니다. 오늘 소개할 식은 다음 적분입니다. (단, a > 0) 사실 굉장히 평범한 적분이죠. 이것을 소개하는 이유는, 하나의 적분을 계산하는 여러가지 방법이 있다는 것을 살펴보고 싶기 때문입니다. 그러므로 이번 포스트는 어떠한 감흥을 주지 않는, 평범한 '자잘한 계산 테크닉의 소개' 정도에 그치겠습니다. [방법 1] 테일러 전개의 유일성을 이용한 방법 : 다음과 같이 식을 정리한 다음, 각 항의 계수들을 비교한다. [방법 2] 코시 적분공식을 이용한 방법 : 항상 그래왔던 것처럼, 윗쪽 반원에 ..

f : R→R 이 연속함수이고 E가 R의 countable dense subset이면, 정의역을 제한하여 얻은 함수 f|E 역시 E에서의 연속함수가 되죠. 그런데 어째서인지 무의식적으로 그 역도 성립한다고 믿고 있었습니다. 이런 어처구니없는 일이…

어떤 적분(특히, 0부터 ∞까지의 적분)이 주어졌을 때, 피적분함수를 적당히 두 함수의 곱으로 나누되 한쪽 함수는 어떤 함수의 라플라스 변환이 되도록 나눕니다. 그 다음에 그 함수를 라플라스 변환의 정의에 해당하는 적분으로 대체한 다음, 적분의 순서를 바꾸어 계산하는 테크닉입니다. 즉, f(x) = g(x)Lh(x) 로 나누어 (단, Lh는 h에 대한 라플라스 변환), 다음과 같이 적분 순서를 바꾸는 것입니다. 문제는, 어떤 조건이 주어져야 위 식이 성립하느냐 하는 것입니다. 이 계산은 보다시피 해석학에서 항상 정당화를 요구받는 '두 극한 연산자의 교환'의 특별한 케이스에 해당함을 알 수 있습니다. 최근에 행한 일련의 계산을 통해서, 매우 일반적인 조건에 대해 위와 같은 적분의 교환이 성립함을 증명했습니..