잡담을 위한 소박한 장소

요즘 StackExchange에서 노닥거리다가 줏은 문제 몇 개를 조금씩 각색해서 올려봅니다. Problem 1.Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be sequences of non-negative real numbers which are not identically zero. Also, let $(c_n)$ be the Cauchy product of these sequences: $$ c_n = (a \ast b)_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}. $$ Prove that $$ \limsup_{n\to\infty} c_{n}^{1/n} = \max \left\{ \limsup_{n\to\infty} a_{n}^{1/n}, \limsup_{n\to\infty} b_{..

Here we want to calculate an integral related to our earlier calculation. Problem. Prove that \begin{equation} \label{eqn:wts} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1-x} \right)^2 \, dx = \log (2\pi) - \frac{3}{2}. \end{equation} 1st Proof. Note that $$ \frac{1}{1-x} + \frac{1}{\log x} = \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{t}}{1-x} \, dt. $$ Then by Tonelli's theorem, we have \begin{align*} \int..

이번 계산에서는, 마지막 부분에 제가 깔끔하게 처리하지 못한 부분을 다른 분의 도움을 얻어 깔끔하게 처리해보았습니다. 어떤 분은 복소로 풀어내기도 했는데, 이 풀이 역시 상당히 마음에 와닿더군요. Problem. Let $(u_n)$ be the sequence defined by \begin{equation} \label{eqn:recur} \frac{u_1}{n} + \frac{u_2}{n-1} + \cdots + \frac{u_{n-1}}{2} + u_n = 1. \end{equation} Find the asymptotic behavior of $u_n$. Solution. We introduce the generating function $U(x)$ of $(u_n)$ given by $$U(x..