잡담을 위한 소박한 장소

오늘 올리는 계산은 Coxeter's Integrals라는 적분의 계산입니다. 사실 이 적분을 처음 접한 것은 몇 년 전이지만, 그 동안은 번번히 계산에 실패했었습니다. 그러던 중, 지난 번 「오늘의 계산 37」의 접근법을 기본으로 하고, 아크코사인을 적절히 변형하는 방법을 발견해내어 이렇게 계산에 성공하게 되었습니다. 으, 참으로 긴 여정이었습니다만 그만큼 뿌듯하긴 하네요. Problem (Coxeter's integrals). Verify the following identities. \begin{align} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{-1} \left( \frac{\cos x}{1+2\cos x}\right) \, dx & = \frac{5}{4} \zeta(2) \la..

Today's integral is a famous one. $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \arctan\sqrt{\frac{\cos2\theta}{2\cos^2\theta}} \, \mathrm{d}\theta = \frac{\pi^2}{24}. $$ To calculate this, we first note that \begin{gather*} \arctan(\alpha) = \int_{0}^{1} \frac{\alpha}{1+\alpha^2 x^2} \, \mathrm{d}x, \tag{1} \\ \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+\alpha^2)(x^2 + \beta^2)}=\frac{\pi}{2\alpha\beta(\alpha+\bet..

상당히 난이도 있는 적분이라고 합니다. 아래 첨부파일 에 풀이가 있긴 하지만, 프랑스어는 못 읽어서 이해를 못 하겠더군요. 그러므로 이 블로그에서 위 적분에 대한 풀이를 올릴 수 있는 날이 올 지는 모르겠습니다. p.s. 요즘 계산을 거의 안 올려서 그런지 블로그가 한산하네요. -ㅁ-;;