계산 소개 03 : A very tough integral inequality by Keith Ball

다음 부등식

이 p ≥ 2 에 대해 항상 성립하고, 등호가 성립할 필요충분조건이 p = 2 임을 보이는 문제입니다.

Keith Ball은 University College London의 교수를 역임하고 있는 사람입니다. 그가 이 부등식을 직접 이용했는지 아니면 이것보다 더 간단한 형태의 부등식을 이용했는지는 모르겠지만, 어쨋든 그는 이 부등식을 이용하여, unit hypercube를 hyperplane으로 자른 단면의 부피가 최대 √2 라는 아름다운 사실을 증명하였습니다. 이 명제의 증명 자체는 아름다웠지만, K. Ball이 위 부등식을 증명하는 데 사용한 테크닉은 매우 끔찍한 계산덩어리였습니다. 후에 다른 수학자들이 훨씬 더 간단한 방법으로 위 부등식을 증명하는 데 성공합니다. 다음 증명이 그 증명인지는 잘 모르겠지만, 어쨋든 어려운 증명은 아니므로 한번 관심있는 분은 읽어보세요. (그래프의 개형에 의존하는 논리가 꽤 있으므로, 직접 그래프를 그려가면서 증명을 따라가보세요.)

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p.s. 혹시 모를 오해를 없애기 위해 사족을 달자면, TeX으로 위 문서를 작성한 건 저지만, 제가 증명한 건 아닙니다 -_-;; 아래 관련링크 (1)의 맨 마지막 코멘트에서 사소한 오류나 갭을 수정하여 만든 것입니다.

[관련 링크]
(1) MathLinks - very tough inequality for integral of sint/t
(2) What Is Known About Unit Cubes (BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 42, Number 2, Pages 181–211)