오늘의 계산 16 - An Integral of the Extended Binomial Coefficient

오늘 계산할 적분은 이것입니다.

단, 여기서 팩토리얼은 감마함수를 이용하여 정의된 것으로 해석합니다.

적분이 아니라 합이라면 위 식이 성립하는 건 n이 음이 아닌 정수일 때 바로 따라나오는 내용입니다. 그렇지만 적분에 대해서도 같은 결과가 성립한다는 건 좀 신기한 결과죠.

사실 수치해석적인 계산을 이용하면 위 식이 임의의 음이 아닌 실수 n에 대해 성립함을 짐작할 수 있지만, 일단 제가 계산에 성공한 것은 n이 음이 아닌 정수일 때뿐입니다. 증명은 감마함수의 반사공식을 이용합니다. 계산해보면,

가 되므로 증명됩니다.

사실은 임의의 0 이상의 실수 n에 대해 다음 등식이 성립한다고 믿고 있습니다만, 수치적인 계산상의 심증은 있어도 실제로 증명은 아직 못 했습니다.

p.s. 2009/3/17 일에 이 문제를 해결하였습니다. 자세한 내용은 오늘의 계산 23을 참조하세요.