오늘의 계산 12 - Legendre Chi Function

첫 번째 적분은 쉽게 계산됩니다. 문제는 두 번째 적분입니다.

사실 첫 번째 적분을 잘못 계산하는 과정에서 두 번째 적분을 계산하게 되었는데, 이 어떻게 주어지는가를 프로그램으로 관찰하다가 우연히 저 등식이 성립함을 알아냈습니다. 그런 의미에서 아직까지 두 번째 적분은 계산을 못 한 것이죠. 열심히 끙끙거리고 있지만 신통치 않군요 -_-;;

 

드디어 미성숙한 계산에 끝을 볼 때가 왔습니다. 오늘 열심히 펜을 굴린 덕에 마침내 두 번째 등식을 증명하는 데 성공했습니다. 하지만 본론에 들어가기 앞서, 이를 위한 몇 가지 사전준비가 필요합니다. 우선은 다음 등식입니다. 증명은 아주 쉬우므로 패스하도록 하겠습니다.



다음으로 여러분께서 Li₂, 즉 dilogarithm의 정의와 아주 기초적인 성질 정도는 알고 계신다고 가정하겠습니다. 만약 그렇지 않다면 [여기]를 참조하셔서 dilogarithm의 두 가지 정의를 살펴봐 주시기 바랍니다. 이어서, 우리에게 필요한 등식은 다음 세 등식입니다. 참고로 아래 등식들은 순서대로 각각 Euler's reflection formula, Landen's identity, Duplication formula으로 불립니다.

(4)번 등식은 양 변의 테일러 전개를 비교해보면 쉽게 확인되며, (2)와 (3)의 경우 등식을 클릭하면 그 등식에 대한 증명을 볼 수 있습니다.

준비가 어느 정도 되었으니, 이제 본격적인 계산에 들어가봅시다.

라고 둡시다. 그리고 -I를 다음과 같이 계산합시다. (여기서 I 대신 -I를 계산한 특별한 이유는 없습니다. 단지 수식을 보기 예쁘게 하기 위함입니다.)



그러므로 이제 남은 일은 Li₂(√2-1)과 Li₂(1-√2)의 값을 계산하는 것뿐입니다. 여기서 공식 (2)~(4)가 힘을 발휘합니다. 이들을 잘 조합하면



이고



임을 알 수 있습니다. 그러므로



이며, 맨 마지막 값이 바로 (arcsinh1)² - (arcsin1)² 과 일치하므로, 원하는 바가 증명되었습니다.