오늘 보일 식은 다음 적분



입니다. 이 적분 정방향으로 공격하는 것은 꽤나 어려워 보이므로, 여기에서는 간접적인 방법으로 위 식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 등식



이 성립한다고 가정합시다. 양 변을 적분해서 정리해보면



이므로, 원래 적분식이 증명됩니다. 이제 맨 처음의 식이 참임을 보이는 것만 남았습니다. 이를 보이기 위하여,  처음 식의 좌변을



와 같이 둡시다. 그리고 이 식의 테일러 전개를 계산해보면



이고



이므로,



를 얻습니다. 마지막 등식은 제 이전 포스트에서 lnΓ(1+x) 의 테일러가 어떻게 나타나는지를 확인해보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다.

부수적으로 다음 결과들을 얻습니다.

(1) 첫 번째 등식을 0에서 s까지 적분한 다음 몇 가지 간단한 조작을 하면 다음 식도 얻습니다.



물론 위 식은 Frullani integral이라는, 좀 더 쉬운 테크닉으로 보일 수 있습니다.

(2) 역시 첫 번째 등식과 우리가 보인 적분식을 잘 연결하여 조작하면, 다음 식을 얻습니다.




(물론 적분의 순서교환이나 I(x)의 analyticity 등 세세하게 체크해야 할 부분이 많긴 하지만, 여기서는 계산을 중심으로 다루고 싶기 때문에 이런 내용들을 생략합니다.)

 

좀 고민해본 끝에, 직접 저 값을 유도하는 방법을 찾아냈습니다.





Posted by aficionado

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