## 오늘의 계산 36 - Integration of a Fejer kernel-like thing

2010. 8. 12. 01:24
…을 가장한, 옛날에 AoPS에 답변으로 올렸지만 티스토리로 퍼오기 매우 귀찮아서 그냥 방치했던 계산 하나를 올려봅니다. 다른 꼴의 삼각함수 적분에도 쓸 수 있는 테크닉이 아닐까 해서 이렇게 올려봅니다.

Today's integral we are going to evaluate is a famous one, .

Solution 1 (by elementary calculus). It is clear that . To determine for , we consider the difference for . Some trigonometric identities show that Since it follows that and for . Therefore for all .

Solution 2 (by complex analysis). It is easy to see, by the substitution , that .

Thus for , Since we have for .

Solution 3 (by advanced calculus). Let for . We further assume , for the convenience of calculation. Then But note that where is the harmonic number, and logarithmic differentiation of gives which implies that as . Also, for , we find that Therefore we have which simplifies to In special cases, taking for gives .

### 댓글을 달아 주세요

1. 2010.08.12 01:41 신고

아 , 이 어지러운 함수들이란 골치야 ㅋㅋ ㅠ

2. 정체모를 2010.08.12 02:07

위에 초등 미적분학과 복소해석학을 이용한 방법은 이해가 가나 젤 밑의 증명방법은 엄청나네요...
그보다 이 문제를 어떻게 구하냐와 구한 문제를 어떻게 이렇게 손쉽게 풀 수 있는지 궁금함 [앞으로 자주 들릴듯 하네요]

3. 2010.09.03 12:58

비밀댓글입니다

4. soundoftrue 2010.12.29 10:33

수학잘하셔서 좋으시겠어요^^
저도 잘하고 싶은데ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ