## 오늘의 계산 35 - Two Integrals

2010. 7. 24. 12:43

오늘 계산은 지금까지 MathLinks에 답변했던 계산들 중 2개를 추려서 올려본 것입니다.

이번에 계산할 적분은 아래 적분입니다. 특별한 설명 없이 쭉 이어나가겠습니다. 이제 복소적분 테크닉을 이용하면 이번에 계산할 적분은 입니다. 위 적분이 절대수렴한다는 것은 원점에서의 행동을 조사해보면 쉽게 알 수 있습니다. 이제 위 적분을 계산하기 위해, 좀 더 일반적인 다음 식을 증명해보도록 하겠습니다. 즉, F(s)는 Stirling formula를 적분으로 표현한 버전이라 할 수 있겠습니다. 증명은 간단합니다. F''(s)를 계산한 다음, F(∞) = F'(∞) = 0 이라는 사실을 이용하여 두 번 적분해주면 됩니다. F''(s)는 Leibniz's integral rule에 의해 로 주어집니다. 이제 위 식을 두 번 적분하고 Stirling formula를 적용하든가 다른 방법을 이용하면 원하는 식을 보일 수 있습니다. 따라서 입니다.

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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1. faye 2011.07.10 23:41

Hi,

I don't know what is going on when you write the first and the second steps of your second picture...

We integrate the function from z=0 to z=+infinity, but when you put z=exp(i*pi/8)w, what limit should we take when z=+infinity?

Thank you for being so kind as to give me a reply.

What I did at the first line of the second image is just the substitution $$z = e^{\frac{i\pi}{8}} w$$. As a result, as you can see, the upper limit is changed from $$+\infty$$ to $$e^{-\frac{i\pi}{8}} \infty$$, which denotes that the integration is taken along the half-line which starts from the origin and extends toward the direction of $$e^{-\frac{i\pi}{8}}$$.

Then, at the next line, I changed the contour of integration. Since $$\int_{0}^{e^{-\frac{i\pi}{8}} \infty} = \lim_{R \to +\infty} \int_{0}^{e^{-i\pi / 8} R},$$ we may choose the contour to be the union of a line segment from 0 to $$R$$ and a circular arc from $$R$$ to $$e^{-\frac{i\pi}{8}}$$. So we have $$\int_{0}^{e^{-i\pi / 8} \infty} = \lim_{R \to +\infty} \left( \int_{0}^{R} + \int_{R}^{e^{-i\pi / 8} R} \right).$$

2. faye 2011.07.12 07:57

Hi,

So, you have apply the Cauchy's integral theorem to change the contour line segment?

I have another idea about this type of integral, which is not so rigor, I have uploaded it for you to take a look:

Is my idea above correct?

$$\int_{0}^{\infty} e^{-z x^2} \; dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{z}}$$