∑ tann/2ⁿ 에 관하여

(이 글은 스프링노트의 내용을 블로그로 옮기기 위한 테스트에 의해 작성되었습니다.)

...(전략)... 화사하던 2007년의 봄날, 화창한 햇빛이 쏟아지는 24동 2층의 한 강의실은 어떤 문제로 인해 봄철의 아지랑이보다 더욱 뜨거운 열기 속에 휩싸였다. 그 문제를 누가 처음 가져왔는지는 기억이 정확하지 않다. 다만 미적분학 과목 혹은 해석학 과목의 한 퀴즈 문제에서 다음과 같은 급수

가 수렴하는가를 묻는 문제가 나왔고, 당연히 대부분의 학생들은 시원스러운 답은커녕 수렴성 자체조차 가늠하지 못했다. 곧 이 문제는 tan^-1의 오타로 인한 해프닝임이 밝혀졌다. 하지만 그 와중에 어느 누군가가 위의 급수 역시 절대수렴한다는 사실을 한 시간만에 증명해냈다는 이야기가 돌기 시작했고, 이는 이 문제를 향한 공략에 활기를 불어넣는 소식이 되었다. 그러나 아쉽게도, 그 자리를 지키고 있던 사람들 중 일부는 수는 지금까지도 이 문제에 대해 만족할 만한 답을 얻지 못했다고 생각하고 있다. 자신을 충분히 납득시킬, 논리정연하게 정리되어 이 급수의 속내를 드러내 줄 내용을 기다리면서… ... (후략) ...

[일본 원작소설 "대항의시대"의 한 구절……?!?!]

이 자리에서는 위 급수의 수렴성에 대해 논해보도록 하자.

Section 1. 문제의 이해와 단순화

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이 급수의 행동을 예측하기 어렵게 만드는 주된 요소는 tan 함수가 π 의 반정수배가 되는 지점, 즉 πk + π/2 인 지점에서 pole(극)을 가져 그 크기가 무한대로 발산하며, 적당한 n과 k을 고르면 n과 πk + π/2 사이의 거리가 충분히 가까워질 수 있기 때문이다. 즉, 손쉽게 설명하자면 tan n 이 유계가 아니기 때문에 모든 문제가 발생한다. 그러므로 우리에게 필요한 지식은, tann의 크기가 증가하는 정도를 2ⁿ이 잘 찍어눌러서 저 급수를 수렴하게 만들 수 있는지 없는지에 대해 설명해줄 수 있는 이론적 지식이다. 그리고 이 섹션에서의 일련의 논증을 통하여, 이 문제가 본질적으로 π 를 유리수로 얼마나 잘 근사시킬 수 있는가에 대한 문제로 귀결된다는 것을 보일 것이다.

우선 주목해야 할 점은, tanx 가 x = π/2 에서 무한대로 증가하는 양상이 일차분수함수의 양상과 비슷하다는 것이다. 쉽게 설명하려면, x가 π/2 와 매우 가까울 때 다음 부등식

이 적당한 상수 C에 대하여 성립한다는 것을 살펴보면 된다. 위 사실은 평균값 정리를 이용해보면 쉽게 확인할 수 있으므로 패스한다. 그러나 여기서는 조금 더 해석학적인 지식을 사용하여, 함수

가 [0, π]에서 연속이 되도록 확장할 수 있다는 사실을 이용하도록 하자. (여기서 tanx 대신 tanπx 를 등장시킨 이유는 아래에 가면 명확해질 것이다.) 위 사실 역시 간단한 미적분학 지식을 이용하면 증명이 가능하다.

다음 관찰은 tann 을 좀 더 문제에 알맞은 방식으로 표현하는 데 있다. 실수 x에 대하여, x를 넘지 않는 최대의 정수를 [x]로 표기하도록 하자. 그리고 x의 소수부분에 해당하는 함수를 <x> = x-[x] 로 표기하도록 하자. 그러면 a_n = <n/π>로 둘 때 tanπx 가 주기가 1인 함수라는 사실로부터

와 같이 적을 수 있다. 그런데 R(x)는 [0, π]에서 연속이므로, |R(x)|는 적당한 양수 M에 의해 bound되어있다. 따라서 바이어슈트라스 M-test로부터, 우리가 그토록 궁금해하는 저 무한급수가 수렴할 필요충분조건이 다음 급수가 수렴하는 것임을 알 수 있다.

또한 원래 급수가 절대수렴할 필요충분조건 역시 위 급수가 절대수렴하는 것임을 쉽게 알 수 있다. 그리고 위 급수로부터 a_n이 얼마나 1/2 로 가까이 다가가는가가 위 급수의 수렴성을 좌우한다는 것을 이해할 수 있다.

그런데 잠깐 생각해보자. m = [n/π]라고 두면

가 성립한다. 즉, 위 식이 얼마나 빨리 0으로 갈 수 있는가는 우리가 1/π 를 얼마나 유리수로 잘 근사시킬 수 있는가에 대한 문제로 귀결된다. 따라서 처음에 약속했던 것처럼 문제의 관점을 유리수 근사(rational approximation)에 대한 문제로 바꿨다.

Section 2. 리우빌 수

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어떤 실수 x가 리우빌 수(Liouville number)라는 것은, 임의의 자연수 n에 대하여 무한히 많은 정수 p, q (q > 0) 의 쌍이 존재하여 다음 부등식을 만족시킨다는 것을 뜻한다.

즉, 리우빌 수는 그 수를 비교적 분모가 복잡하지 않은 유리수로도 매우 잘 근사할 수 있는 수이다. 반대로 어떤 수가 리우빌 수가 아니라는 것은, 그 수가 유리수이거나 혹은 그 수를 유리수로 근사시키는 데 어느 정도의 한계가 있다는 것을 의미한다. 이를 확인하기 위하여, x가 유리수도 아니고 리우빌 수도 아니라고 해보자. 그러면 정의에 의해, 어떤 자연수 n이 존재하여 유한개를 제외한 임의의 정수 p, q (q > 0) 에 대해 항상

이 성립함을 뜻한다. 이와 동치로, 어떤 자연수 n과 양수 C가 존재하여, 임의의 정수 p, q (q > 0) 에 대해 항상

가 성립하여도 x는 리우빌 수가 아니다.

다음 명제는 x가 리우빌 수가 아닐 때, x로부터 파생된 어떤 수들 역시 리우빌 수가 아님을 보여준다.

Theorem.  x가 리우빌 수가 아니면 1/x 도 리우빌 수가 아니다.

proof.  우선 x가 유리수이면 주어진 결과는 자명하다. 그리고 x가 무리수이고 리우빌 수가 아니면 -x도 리우빌 수가 아니므로, 편의상 x가 양의 무리수라고 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. 우선 p, q (q > 0) 이 임의의 정수라고 하자. 이때 C₁ 을, x와 정수 사이의 거리의 최소값이라고 두면, x가 유리수가 아니므로 C₁은 양수이며, |x - p| ≥ C₁ 이 자명하게 성립한다. 그러므로 q ≥ 2 인 경우만 살펴보아도 충분하다.

  먼저 |x - p/q| > x/2 인 경우를 살펴보자. 이 경우 x ≥ 2^-m 을 만족하는 정수 m이 존재한다. 그러므로 |x - p/q| > x/2 ≥ 2^-(m+1) ≥ q^-(m+1) 가 된다. 그러므로 |x - p/q| ≤ x/2 인 경우만 살펴보면 증명은 끝난다. 일단 x - p/q ≤ x/2 로부터 p가 양수여야 함을 알 수 있으며, 추가적으로 x/(2q) ≤ 1/p 임을 얻는다. 이제 n과 C를 위의 정의 (1)에서 등장한 그 n과 C라고 하자. 그러면

이므로, 세 경우를 한데 묶으면 증명이 완료된다.

Section 3. π는 리우빌 수가 아니다

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위에서 갑자기 생뚱맞게 왜 리우빌 수를 등장시켰는지 의문을 가질 수도 있다. 그러나 리우빌 수란 개념이 어떤 수를 유리수로 근사시킬 수 있는 정도에 대한 이해라고 받아들인다면, 앞서 Section 1에서 언급했던 rational approximation과 Section 2의 내용이 한데 묶여 우리에게 새로운 방향을 제시해줄 수 있다는 믿음을 가져도 좋을 것이다. 그리고 이 Section에서는 바로 그 믿음을 현실화시킬 것이다.

우선 π가 리우빌 수가 아니라고 가정하자. 그러면 1/π도 리우빌 수가 아니므로, 어떤 자연수 μ와 양수 C가 존재하여 임의의 정수 p, q (q > 0)에 대해

가 성립한다. 그러면

가 성립하므로, 적당한 양의 상수 C'에 대하여

가 성립한다. 그러므로 비교판정법과 Section 1의 내용으로부터, 놀랍게도

은 절대수렴한다! 사실 같은 논리에 의해, 위 무한급수에서 분모가 2ⁿ이 아니라, 임의의 ε > 0 에 대해 n^μ+ε 로 바뀌어도 여전히 그 급수는 절대수렴함을 알 수 있다.

그러나 위의 내용은 어디까지나 π가 리우빌 수가 아니라는 가정 하에 증명된 것이므로, 최종적으로 이 사실을 증명해야만 모든 논의가 마무리된다. 이것에 대한 증명은 여기서 직접 다루지 않고, 이에 관해 자세한 설명이 나와 있는 링크로 대체하도록 하겠다.

AOPS - Rational Approximations of Famous Numbers

AOPS - Proof that π is not Liouvillian

따라서 모든 증명은 완료되었고, 주어진 급수는 절대수렴한다.

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.