오늘의 계산 25 - Growth Behavior of the Incomplete Gamma Function

여러분들도 군대에 오시면 이런 계산을 할 수 있습니다...?



오늘 보이려고 하는 계산은 다음 두 극한값을 계산하는 과정이다.





우선 두 계산에 공통적으로 사용될 사실들을 몇 가지만 따로 떼어서 보조정리로 정리해보도록 합시다.


보조정리 1 이다.

증명) 간단한 계산이다. a > 0 일 때 공식 이 성립함을 이용하면

 

보조정리 2 임의의 실수 a에 대하여 이다.

증명) f(t) = 2^t - 1 - t 로 두면, f(1) = 0 이고 t ≥ 1 일 때 f'(t) = 2^t log 2 - 1 ≥ 2 log2 - 1 > 0 이므로, 2^t ≥ 1 + t 이 성립한다. 그러므로

 

이고 맨 오른쪽 항이 n→∞ 일 때 0으로 수렴함은 당연하므로, 증명된다.

보조정리 3 로 두면, 0 ≤ x ≤ 1 일 때 이 성립한다.

증명) 자명하다.


그 외에 (1)과 (2)를 증명하는 과정에서 Stirling's formula와 LDCT(Lebesgue's dominated convergence theorem) 등을 자주 활용할 것이다.

어쨋든 이제 (1)을 증명해보자. 우선 Stirling's formula와 보조정리 1, 2에 의하여 다음이 성립한다.

이제 n = R², u = Rt 로 치환하면

이 되고, 우변의 피적분함수는 테일러 전개에 의해

이 되므로, LDCT에 의하여

이다. 따라서 (1)이 증명된다.

이제 (2)를 증명하기 위해서 극한 내의 식을 다시 조작해보자. 다시 Stirling's formula와 보조정리 1, 2를 이용하면

그런데 간단한 관찰을 통해

이고,

이므로, 결과적으로

임을 얻는다. 따라서 테일러 전개를 이용하면 다음 식을 얻는다.

이제 치환 n = R² 과 u = Rt 를 적용하면

가 된다. 그런데 평균값 정리와 보조정리 3에 의해

이 성립하고, 따라서

이 성립한다. 그러므로 LDCT를 적용할 수 있고,

그런데 (2)의 극한식은 위 값의 2배가 되어야 하므로, 식 (2)가 증명된다.