오늘의 계산 22 - An Infinite Summation

요즘 GRE 공부때문에 수학에 손 댈 기회가 더더욱 없어서 우울한 차에, 오랜만에 주말을 맞아 본격적으로 웹서핑 좀 하다가 쉽고 재미있는 문제를 발견해서 한번 풀어봤습니다.

첫 번째 계산은 위의 계산입니다. 단, 여기서 입니다. 위 사실들을 참이라고 가정하면, a > 1 일 때 성립하는 등식

에 a = 2 를 대입하여 다음 등식을 얻어냅니다.

이제 첫 번째 식의 수렴성을 증명하고 이 식의 값을 계산하는 일만 남았습니다. 우선 계산에 앞서, 보조정리 하나를 증명해봅시다.

Lemma  만약 f가 C¹[a,b]에 속하면, 다음 식이 성립한다.

proof. 함수 F를 이라고 두자. n을 고정하고, Δx = (b-a)/n 과 x_k = a + kΔx 로 두자. 그러면 Taylor 정리에 의해서, 적당한 가 존재하여,

가 성립한다. 따라서 n→∞ 의 극한을 취하면 증명된다. ■


이제 H_n 과 A_n 을 각각 과 으로 둡시다. 그러면

이 성립하므로 이고, 이를 적용하면

이 성립합니다. 한편 함수 f를 f(x) = 1/(1+x) 로 두면, f는 C¹[0,1]에 속하며, 이고,

가 성립합니다. 따라서

이고, N→∞ 를 취하면 Lemma와 γ의 정의로부터 위 극한값이 γ임을 얻습니다. 한편 위의 식 조작을 흉내내면 주어진 급수가 수렴한다는 사실은 쉽게 따라나오므로, 이에 대한 증명은 생략하도록 하겠습니다.